1. El esquema subyacente "diagramático" de la lógica. Este esquema en cierto modo subyace a la versión "antropologizada" de la lógica formal cuando se presenta de la manera clásica, "lingüística" (conectores entre proposiciones, etc).
2. "Ideas/hechos" para ir entendiendo, para ir desenturbiando, puntos de partida. Problemas concretos conceptuales.
1. ¿Cuál es dicho esquema?
No es para nada complejo, es más bien simplificador y aclarador.
Nos hace pensar que lo esencial de "la lógica" es que nos habla de "lugares", de distribuciones (las proposiciones valoradas, el régimen de valoración habla de "espacios" de valoración) lo que Husserl llamaba al parecer "lógica trascendental".
Husserl parece ser que terminaba hablando de consciencia; pero en nuestro caso no hace falta, ya que existen ciertos "avances" en fundamentos de las matemáticas, que, como todo "avance", son (en parte, si no principalmente) un cierto "excavar más hondo", un excavar no directamente identificable con un "inventar" (aunque en realidad todo aprender es inventar, de entrada es un "inventarse" :) ).
No hace falta "consciencia" en una "fenomenología" (por llamarlo de alguna manera) tal y como la entiende Badiou, con matemáticas-lógica. Una fenomenología que por otra parte sirve inocente y bellamente de divulgación (!!) de esta parte de las matemáticas, de la ultra-matematización de la lógica conseguida con topos... además de servir también a modo de aclaración para la metafísica. (El introducirse en estos modos de pensar matemático-lógicos no es por otra parte una tontería para los más "profesionales", pues están aplicándose en muchos sitios: ingeniería, física teórica, etc.)
Y ¿cuál es el pongamos que el primer reto propuesto por esa lógica-hecha-"trascendental", con esas herramientas que comentamos?
A) Tenemos objetos muy palpables para hablar de "trascendental". En concreto, en conjuntos, el trascendental es el dos, el {verdadero, falso}, un conjunto que como vemos no tiene cohesión, por algo estamos en el mundo de los conjuntos finitos, con "interiores" más o menos llenos de puntos desconectados. Es preferible imaginarse al "dos" simplemente como "pelota" con dos puntos dentro, a la hora de "hacerse diagramático", a la hora de hacerse con esto de que la lógica es antes planteamiento de mundos-lugares que subjetivismo antropomorfo en forma de lenguaje.
B) Como decimos, la forma de la lógica estilo "lenguaje", la que se suele conocer, sería por tanto secundaria respecto a esta. Las exposiciones que a partir de ahora podríamos hacer por aquí, podrían tener que ver con esto, con la continuación del reto: consiste por ejemplo en seguir dando la versión no "lenguajera" de la lógica, lo que requeriría "traducir la lógica formal": conectores..., cuantificadores..., negación... a este otro pensamiento.
Esto lo divulga Badiou en un capítulo semi-técnico muy gracioso. Digo sólo "divulga" porque obviamente no es un invento suyo sino de los lógicos-matemáticos que con estas nuevas estructuras categoriales (topos) consiguieron esta "profundización".
Esos topos (tipo de categoría) se dice -en su jerga- que tienen "conjuntos omega", que son lo que Badiou llama "trascendentales", y que es, como dijimos, el "dos" en "conjuntos finitos", en el topos básico de conjuntos finitos (dos valores de verdad). Pero trascendentales hay de muchos tipos, como en casi todo :), hay de "infinitos" tipos. Por ejemplo, "trascendentales" con cierta forma, con cierta "cohesión interna" o "movimiento interno" son fáciles de dibujar, basta con complicar sólo un poco la categoría de conjuntos, y entonces ya no son como aquel -importante- "dos" de los conjuntos, sino que tienen como digo cierta forma. Cuando hablo de "cohesión" me refiero a "relaciones internas" al trascendental, esto es, que no son un simple dos con dos puntos aislados uno de otro.
2. Ideas/hechos básicos para futuras exposiciones y/o especulaciones:
A) El "lugar".
Para argumentar sobre lo que hemos dicho de la lógica como espacio lógico.
¿Son pensables los conjuntos como "lugar"? Sí, como estructura, como comentábamos en el chat el otro día rápidamente y más arriba aquí. La "maquinaria mental" que despliega ese lugar cobra algo de sentido, se ve ayudada por diagramas, no muy difíciles, que además en parte generalizan el concepto de límite, etc. Por ejemplo puedes tener un concepto diagramático (que es además un límite) del simple producto (en conjuntos finitos, esto es, mismamente el "2 · 2").
B) ¿Qué es la topología?
Si os fijáis en los axiomas "conjuntistas" para la topología, es muy importante el "gesto" de hacer subconjuntos, partes. De eso van los axiomas (uniones infinitas... intersecciones finitas...); por tanto, de operaciones que no dependen de los "puntos", pues puede no haberlos, hay topologías sin puntos, hay categorías -en teoría de categorías- sin puntos, de hecho, la forma de un trascendental puede ser muy rara, y hay que decir que en cierta manera es el encargado de "gobernar" el "mundo".
Veníamos que nos enseñaban, por coger un ejemplo muy normal, la "recta real" y que nos definían "los abiertos" de la topología, esto es, los conjuntos que definen la topología, que son la topología como conjunto de conjuntos. Su característica, vista de modo conjuntista, tiene que ver con esas operaciones con partes, con subconjuntos.
Ahora empecemos a comentar una intuición previa para ir uniendo las anteriores ideas/hechos "1." y "2.".
Topología: axiomas para las partes... Fijémonos por tanto en eso de "las partes".
Y por otro lado las partes en "conjuntos finitos"..., esto es, el cómo creas subconjuntos: viene gobernado por el dos: x pertenece o no pertenece al subconjunto. Verdadero o falso. Ya lo dijimos y es "obvio".
No sé si sabéis por dónde voy.
Bueno, por aquí van los tiros. El "mundo" del "hacer partes", del tomar partes de una materia dada, por ejemplo la recta real que sacábamos antes, ya sabéis que se relaciona de forma muy curiosa (con los teoremas de exceso en cardinales y todo esto) con el mundo del cual hace partes. Por eso es o era tan divertido y aclarador todo esta revisión de lo lógico que afecta a las relaciones entre lógica-topología-geometría...
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Bibliografía:
- ¿Hay por ahí gente para preparar "Lógicas de los mundos" de Alain Badiou? de Alain Badiou.
- "Matemáticas conceptuales", Lawvere & Schanuel (Siglo XXI o Cambrigde University Press).
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