matematerialismos y turbulencias

Una fórmula λ es absoluta para un conjunto α si la veridicidad de esta fórmula restringida a α equivale, para valores de parámetros tomados en α, a su veridicidad en la teoría de conjuntos sin restricción. Esto es, si se puede demostrar: (λ)^α↔ λ, a partir de que λ es "probada" en α.
Ejemplo: " α es un ordinal inferior a ω₀ " es una fórmula absoluta para el nivel L_S(ω0) de la jerarquía constructible.

En general las consideraciones cuantitativas (cardinalidad, etc.) no son absolutas.


Apéndice 5. Sobre el carácter absoluto
Se trata de establecer el carácter absoluto de cierto número de términos y de fórmulas para una situación quasi completa. Recordemos que esto quiere decir que la definición del término es "la misma" respecto de la situación S que de la ontología general, y que la fórmula referida a S equivale a la general, a partir del momento en que se constriñe a los parámetros a pertenecer a S.
a. Ø. Es evidente, ya que la definición de Ø es negativa (nada le pertenece). No puede "modificarse" en S. Por otra parte, Ø ∈ S, por el hecho de que S es transitivo y satisface el axioma de fundación. Ahora bien, sólo el vacío puede fundar un múltiple transitivo (meditación 18).
b. α ⊂ β es absoluto, en el sentido en que si α y β pertenecen a S, entonces la fórmula α ⊂ β es verdadera para un habitante de S si y sólo si es verdadera para el ontólogo. Esto se infiere directamente de la transitividad de S: los elementos de α y de β son también elementos de. Por lo tanto, si todos los elementos de α (en el sentido de S) pertenece a β -definición de la inclusión-, lo mismo ocurre en el sentido de la ontología general, y a la inversa.
c. α ∪ β: si α y β son elementos de S, el conjunto {α, β} también existe allí -en función de la validez en S del axioma de reemplazo- aplicado por ejemplo al Dos que es p(Ø), que existe en S, pues Ø ∈ S y el axioma de las partes es verídico en S (ver esta construcción en la meditación 12). Se verifica de paso que p(Ø) es absoluto (en general p(α) no es absoluto). Asimismo, ∪{α,β} = α ∪ β.
- α ∩ β se obtiene por separación en α ∪ β, a través de la fórmula "γ ∈ α & γ ∈ β".
Basta que este axioma de separación sea verídico en S.
- α - β, conjunto de elementos de α que no son elementos de β, se obtiene igualmente por medio de la fórmula "γ ∈ α & ¬ (γ ∈ β)"
d. Acabamos de considerar al par {α, β} (en el carácter absoluto de α ∪ β). En cuanto al par ordenado, recordemos que se define <α, β> = [{α}, {α, β}] (ver apéndice 2). El carácter absoluto es entonces trivial.
e. "Ser un par ordenado" equivale a la fórmula: "Ser un par simple cuyo primer término es un singleton y el segundo un par simple, uno de cuyos elementos es el que figura en el singleton". Ejercicio: escribir esta fórmula en la lengua formal y meditar sobre su carácter absoluto.
f. Si α y β pertenecen a S, el producto cartesiano α × β se define como el conjunto de pares ordenados < γ, δ> γ ∈ α y δ ∈ β. Los elementos del producto cartesiano se obtienen por la fórmula: "Ser un par ordenado cuyo primer término pertenece a α y cuyo segundo término pertenece a β". Esta fórmula separa al producto cartesiano en todo conjunto en el que figuren todos los elementos de α y todos los de β. Por ejemplo, en α ∪ β. Ahora bien, α ∪ β es una operación absoluto y "ser un par ordenado", un predicado absoluto. Se concluye que el producto cartesiano es absoluto.
g. La fórmula "ser un ordinal" no tiene parámetros y sólo abarca la transitividad. Es un ejercicio simple constatar su carácter absoluto (el apéndice 4 muestra el carácter absoluto de "ser un ordinal" para el universo constructible).
h. ω₀ es absoluto, dado que se define como "el más pequeño ordinal límite", o sea, "el más pequeño ordinal no sucesor". Por supuesto, el hecho de que ω₀ ∈ S se infiere de que S verifica el axioma del infinito.
i. Del hecho de que "ser un par ordenado" es absoluto, se infiere que "ser una función" es absoluto. Es la fórmula: "Tener como elementos pares ordenados <α, β> tales que si <α, β> es elemento, y también <α, β'>, entonces β = β'. " (cf. la definición ontológica de función en el apéndice 2). Asimismo, "ser una función biunívoca" es absoluto. Una parte finita es un conjunto que está en correspondencia biunívoca con un ordinal finito. Puesto que ω₀ ∈ S y es absoluto, otro tanto ocurre con los ordinales finitos. Entonces, si α ∈ S, el predicado "ser una parte finita de α" es absoluto. Si separamos a través de ese predicado en [p(α)]^S -que no es absoluto-, obtenemos todas las partes finitas de α (en el sentido de la ontología general), aun cuando [p(α)]^S no sea en general idéntico a p(α). Esto resulta del hecho de que entre los elementos de p(α) sólo los múltiples infinitos pueden no ser presentados en S, de manera que p(α) ≠ [p(α)]^S. Pero en cuanto a las partes finitas, del hecho de que "ser una función biunívoca de un ordinal finito sobre una parte de α" es absoluto, resulta que todas ellas están presentadas en S. Por consiguiente, el conjunto de las partes finitas de α es absoluto.

Todos estos resultados autorizan a considerar que las condiciones del tipo "todas las series finitas de ternas <α, n, 0 >o <α, n, 1 >, donde α ∈ δ y n ∈ ω₀" son conocidas para un habitante de S (si δ es conocido), porque la fórmula que define un múltiple tal de condiciones es absoluta para S ("serie finita", "ternas", 0, 1, ω₀... son, en efecto, absolutos).





(El ser y el acontecimiento: diccionario final de la edición argentina en edit. manantial)