cardinal
Un cardinal es un ordinal tal que no existe correspondencia biunívoca entre él y un ordinal más pequeño.
La cardinalidad de un conjunto cualquiera es el cardinal con el que este conjunto está en correspondencia biunívoca. Indicamos |α| la cardinalidad de α. Es preciso recordar que |α| es un cardinal, aun cuando α sea un conjunto cualquiera.
La cardinalidad de un conjunto siempre existe, si se admite el axioma de elección.
Apéndice 3 ("el ser y el acontecimiento")
Heterogeneidad de los cardinales: regularidad y singularidad
Hemos visto (meditación 14) que la homogeneidad del esquema ontológico de los múltiples naturales -los ordinales- soportaba una falla, la que distingue los sucesores de los límites. Los múltiples naturales que forman la escala de medida de las magnitudes intrínsecas -los cardinales- soportan otra más profunda aún, que opone los cardinales "indescomponibles", o regulares, a los "descomponibles" o singulares. Y así como es necesario decidir acerca de la existencia de un ordinal límite -ésta es la substancia del axioma del infinito-, del mismo modo, la existencia de un cardinal límite regular, superior a ω0 (a lo enumerable), que no puede inferirse a partir de las Ideas de lo múltiple, supone una nueva decisión, que es una suerte de axioma del infinito de origen cardinal y que detenta el concepto de cardinal inaccesible. De este modo, la abertura hacia el infinito queda inconclusa si nos atenemos a la primera decisión. En el orden de las cantidades infinitas todavía se puede apostar por existencias que sobrepasen a los infinitos admitidos previamente, tanto como el primer infinito, ω0, supera lo finito. En esta vía, que se impone a los matemáticos en el lugar mismo del impasse al que los conduce el errar del estado, fueron definidos sucesivamente los cárdinales débilmente inaccesibles, fuertemente inaccesibles, de Mahlo, de Ramsey, medibles, inefables, compactos, supercompactos, extendibles, enormes. Estas grandiosas ficciones dejan percibir que los recursos del ser en magnitud intrínseca hacen vacilar el pensamiento y lo conducen a los bordes de la ruptura de la lengua, ya que, como lo dice Thomas Jech, "con la definición de los cardinales enormes nos aproximamos al quiebre representado por la inconstancia".
Las condiciones iniciales son bastante simples. Supongamos que se corta en fracciones [morceaux]
un cardinal dado, esto es, en partes tales que su unión abarca todo el múltiple-cardinal considerado. Cada una de esas fracciones tiene una cierta potencia, representada por un cardinal. Es evidente que esta potencia es, a lo sumo, igual a la del todo, puesto que se trata de una parte. Además, el número de fracciones tiene también una cierta potencia. La imagen finita de la cosa es muy simple: si recortamos un conjunto de 17 elementos en una fracción de 2, una de 5 y una de 10, obtenemos finalmente un conjunto de partes cuya potencia es 3 (3 fracciones), teniendo cada parte potencias inferiores al conjunto inicial (ya que 2, 5 y 10 son inferiores a 17). Por consiguiente, el cardinal finito 17 se puede descomponer en un número de fracciones tal que, tanto dicho número como cada una de las fracciones, tienen una potencia inferior a la suya. Lo que se escribe 17 = 2 + 5 + 10.
Por el contrario, si consideramos el primer cardinal infinito, ω0, es decir, el conjunto de los números enteros, no ocurre lo mismo. Si una fracción de ω0 es una potencia inferior a ω0, es porque es finita, puesto que ω0 es el primer cardinal infinito. Y si el número de fracciones es igualmente de potencia inferior a ω0, se debe a que es finito. Queda claro que si "encolamos" un número finito de fracciones finitas obtenemos un conjunto finito. No se puede esperar componer ω0 con fracciones más pequeñas que él (en el sentido de la magnitud intrínseca, de la cardinalidad), en número también más pequeño que él. Es necesario que al menos una de las fracciones sea infinita o que el número de las fracciones lo sea. En todo caso, necesitamos del no-número ω0 para componer ω0. En cambio, 2, 5 y 10, todos inferiores a 17, permiten llegar a él, aunque su número, 3, es también inferior a 17.
Ahora bien, son estas determinaciones cuantitativas muy diferentes, sobre todo tratándose de cardinales infinitos. En el caso en que pudiéramos descomponer al múltiple tales que cada uno de ellos es más pequeño que él y que su número también lo es, se puede decir que ese múltiple se deja componer "por abajo", es accesible en términos de combinaciones cuantitativas surgidas de lo que le es inferior. Si esto no es posible (como en el caso de ω0), la magnitud intrínseca está en posición de ruptura, comienza consigo misma y no es posible ningún acceso a ella a través de descomposiciones que todavía no la impliquen.
Un cardinal que no es descomponible, o accesible desde abajo, será llamado regular. Un cardinal que sí lo es, será llamado singular.
De manera precisa, diremos que un cardinal ωα es singular si existe un cardinal ωβ más pequeño que ωα y una familia de ωβ partes de ωα teniendo cada una de esas partes una potencia inferior a ωα tal que la unión de esa familia recubre a ωα.
Si convenimos en la notación |α| para la potencia de un múltiple cualquiera (es decir, el cardinal que tiene la misma potencia que él, por consiguiente, el ordinal más pequeño que tiene la misma potencia que él), la singularidad de ωα se denotará del siguiente modo (donde Aγ designa las fracciones):
ωα = ∪ γ ∈ ω β Aγ , con Aγ ⊂ ωα & ωβ < ωα & |Aγ| < ωα
Un cardinal es regular
si no es singular. Esto es, si es necesario para componerlo, o bien que una fracción tenga ya la potencia ωα, o bien que el número de fracciones tenga la potencia ωα.
1ª cuestión. ¿Existen cardinales infinitos regulares?
Sí. Como lo vimos, ω0 es regular. No se lo puede componer con un número finito de fracciones finitas.
2ª cuestión. ¿Existen cardinales infinitos singulares?
Sí. En la meditación 26 mencioné al cardinal límite ωω0 , que viene justo "después" de la serie ω0, ω1,..., ωn, ωS(n),... Este cardinal es enormemente más grande que ω0, sin embargo es singular. Para verlo, basta considerar que es la unión de los cardinales ωn todos más pequeños que él. Ahora bien, el número de esos cardinales es justamente ω0, puesto que están indicados sobre los números enteros 1, 2, ..., n, .... El cardinal ωω0 es, por lo tanto, componible a partir de ω0 fracciones, todas más pequeñas que él.
3ª cuestión. ¿Hay otros cardinales infinitos regulares, además de ω0?
Sí. Se puede demostrar que todo cardinal sucesor es regular. Vimos que un cardinal
ωβ es sucesor si existe ωα tal que ωα < ωβ y no hay ningún cardinal "entre ellos", esto es, si no existe ωγ tal que ωα < ωγ < ωβ. Se dice que ωβ es el sucesor de ωα vemos que ω0 y ωω0 no son sucesores (son límites), porque si ωn < ωω0 -por ejemplo-, hay siempre todavía una infinidad de cardinales entre ωn y ωω0, o sea, ωS(n), ωS(S(n))... Todo esto está de acuerdo con el concepto de infinito desarrollado en la meditación 13.
Que todo cardinal sucesor sea regular no es en absoluto evidente. Para ser demostrada, esta no-evidencia toma la forma técnica, a decir verdad inesperada, de la necesidad de utilizar el axioma de elección. De este modo, la forma de la intervención es requerida para decidir que cada magnitud intrínseca obtenida por "un paso más" (una sucesión) es un puro comienzo, por el hecho de que no se puede componer a partir de lo que le es inferior.
Este punto pone de manifiesto una conexión general entre la intervención y el un-paso-más.
Según la representación común, lo que sucede "en el límite" es más complejo de lo que sucede en un solo paso suplementario. Una de las debilidades de las ontologías de la Presencia reside en validar esa representación. El efecto misterioso y cautivante de esas ontologías, que movilizan los recursos del poema, es el de instalarnos en el presentimiento del ser, como más allá y horizonte, como sostén y eclosión del ente-en-totalidad. Así, una ontología de la Presencia afirma siempre que las operaciones "en el límite" son el verdadero peligro para el pensamiento, el momento en el que el abrirse a la eclosión de lo que hace serie en la experiencia de lo inacabado y lo abierto por lo cual el ser se libera. La ontología matemática nos advierte de lo contrario. El límite cardinal no contiene, en realidad, otra cosa que aquello que lo precede, y cuya unión él lleva a cabo. Está entonces determinado por las cantidades inferiores. El sucesor, en cambio, está en posición de exceso verdadero, puesto que debe sobrepasar localmente al que lo precede. De este modo -y esto es una enseñanza de gran valor político o estético-, no es la reunión global "en el límite" lo que resulta innovador y complejo, sino más bien la realización en el punto determinado en el que se lo encuentre, de ese uno-más, de un paso. La intervención es una instancia del punto, no del lugar. El límite es una composición, no una intervención. Algo que, en la ontología de la cantidad, se enuncia del siguiente modo: los cardinales límite son, en general, singulares (por consiguiente, componibles por abajo); los cardinales sucesores son regulares, pero para saberlo se necesita el axioma de elección.
4ª cuestión. Un cardinal singular es "descomponible" en un número más pequeño que él de fracciones también más pequeñas que él. Pero esto no puede descender indefinidamente.
Evidentemente. En virtud de la ley de minimalidad que sostienen los múltiples naturales -por lo tanto, los cardinales- existe forzosamente un cardinal más pequeño ωβ tal que el cardinal ωα se puede descomponer en ωβ fracciones, todas más pequeñas que él. Se trata, si se quiere, de la descomposición maximal de ωα. Se llama cofinalidad de ωα y será designada c(ωα). Un cardinal es singular si su cofinalidad es realmente más pequeña que él (es descomponible), esto es, si c(ωα) < ωα. Si se recubre a un cardinal regular con fracciones más pequeñas que él, es necesario que el número de esas fracciones le sea igual. En ese caso c(ωα) = ωα.
5ª cuestión. De acuerdo: tenemos por ejemplo c(ω0) = ω0 (regular) y tenemos ...
(El ser y el acontecimiento: diccionario y apéndices finales de la edición argentina en edit. manantial. (Y es posible que algún comentario propio))
