Sabemos que un número cardinal es la medida del número absoluto de elementos de un múltiple cualquiera.
Así, el número cardinal que escribimos como "5", mide la cantidad de elementos de toda multiplicidad finita que tenga 5 elementos. Cantor pudo definir cardinales infinitos mediante un procedimiento que retomaremos aquí. También definió un orden para los cardinales infinitos al precio de admitir el axioma de elección. Entre los cardinales infinitos llamaremos inaccesibles a aquellos que no puedan ser obtenidos a partir de un cardinal más pequeño por ninguna de las dos construcciones fundamentales en teoría de conjuntos:
- la unión, que nos lleva de un conjunto A a la consideración de todos los elementos de los elementos de A (diseminación), y
- el hacer partes, que nos lleva de A al conjunto de todas las partes de A (totalización).
Podemos decir que un cardinal inaccesible es interiormente cerrado para las operaciones de diseminación y de totalización: si operamos sobre un cardinal más pequeño que él, y sobre el que le aplicamos dichas operaciones, se obtendrá siempre un cardinal también más pequeño que él. Podemos comprobar cómo el cardinal infinito más pequeño de todos, el ℵ0, es sin embargo inaccesible (las dos operaciones anteriores aplicadas a los cardinales finitos dan evidentemente también cardinales finitos). Por el contrario, un cardinal inaccesible más grande que dicho aleph, es absolutamente gigantesco, y su existencia no es demostrable: debe ser prescrita mediante un axioma especial.
