matematerialismos y turbulencias

2. El enfoque conceptual frente al enfoque constructivista

La tradición matemática y lógica propone determinados objetos de estudio (teoría algebraica, conjuntos, estructuras algebraicas, categorías, etc.) concebidos de determinado modo (complejos de símbolos, totalidad de elementos, conjuntos con operaciones, conjuntos de objetos y de flechas, etc.). Así pues la situación general en que nos encontramos al elaborar una teoría para un objeto específico es la de aplicar al objeto los conceptos desarrollados históricamente y ya a nuestra disposición.

Por otro lado la investigación matemática avanzada, ha mostrado que el desarrollo de tales teorías específicas no depende del modo en que se piense que los objetos estan constituídos, sino más bien de las propiedades categóricas de la totalidad de tales objetos. En palabras de Lawvere (cfr. [21]):

En el desarrollo matemático de las últimas décadas se ve claramente surgir la convicción de que las propiedades relevantes de los objetos matemáticos son aquellas que pueden ser enunciadas en términos de su estructura abstracta más que en términos de los elementos de los que se piense que los objetos están constituidos

De esto resulta que la dirección hacia la cual desarrollar una teoría para un objeto específico está determinada en gran parte por el propio objeto, no por las formaciones conceptuales preexistentes, y suele suceder que después de suficiente elaboración teórica se descubran nuevas formaciones conceptuales que expresen más directamente las propiedades del objeto. El paso a dar en este punto es reconocerle dignidad fundacional a estas nuevas formaciones conceptuales y aceptar el hecho de que las viejas no proporcionan más que una representación, históricamente necesaria pero ahora inadecuada, del objeto respecto a cuyo concepto presente no tardará en manifestarse la necesidad de su superación.

Esta tesis se opone tanto a la fundamentación conjuntista, dominante en la práctica matemática tradicional, como a la fundamentación de tipo finitista, ampliamente difundida entre los lógicos y los estudiosos de los fundamentos. Pero la propuesta de Lawvere está bien enraizada en la práctica de la investigación matemática y es la toma de conciencia de que en el curso de tal investigación se elaboran puntos de vista y conceptualizaciones cuyas consecuencias son de carácter general y que no hay necesidad ni utilidad alguna en fundarlos sobre nada más que sí mismos.

Estas ideas son desarrolladas a continuación en cuatro casos particulares.
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3. Cuatro ejemplos del punto de vista conceptual o invariante

En los tres primeros trabajos que analizamos a continuación se tratan (en el contexto de las categorías) las teorías y categorías algebraicas [18], los conjuntos [19] y las propias categorías [21].

• a) Teorías algebraicas de una especie.
  Tradicionalmente, una teoría consiste en un lenguaje, un conjunto de axiomas y un conjunto de reglas deductivas. Pero así como en la geometría algebraica se ha pasado gradualmente de la descripción de una variedad en términos de sistemas de ecuaciones a su forma invariante como anillo conmutativo de funciones polinómicas definidas sobre la variedad, liberándose uno de este modo tanto de las ecuaciones particulares definidoras (los axiomas) como del espacio afín en el cual la variedad se concebía inmersa (el lenguaje) [10], del mismo modo Lawvere ha demostrado:
  • (1) que existe el concepto de teoría algebraica en sentido invariante, vista como una categoría pequeña particular con productos finitos;
  • (2) que cada presentación de una teoría algebraica da lugar, con una construcción à la Lindenbaum a una teoría algebraica en sentido invariante; y
  • (3) que cada teoría algebraica en sentido invariante admite presentaciones. Este punto de vista se diferencia técnicamente de los trabajos precedentes de álgebra de la lógica en que en él se le asigna a cada término un dominio y un codominio, lo cual permite el uso de la teoría de las categorías. [ver nota 1. Meloni]
  Por otro lado, desde el enfoque categórico tanto el concepto de interpretación sintáctica entre teorías como el de modelo de una teoría (usualmente tratados de modo diferente), toman la forma de un funtor que preserva la estructura (los productos finitos). La diferencia entre interpretación sintáctica y modelo consiste ahora sólo en el hecho de que el codominio de tal funtor es una teoría en el primer caso y (normalmente) la categoría de conjuntos en el segundo (si bien el segundo concepto, es decir, el de modelo de una teoría, admite ahora una generalización obvia y de gran utilidad al poder considerarse modelos en categorías que no son la de los conjuntos [nota 2 de Meloni]). Además se tiene que el concepto de homomorfismo entre modelos de una teoría algebraica coincide, en su formulación invariante, con el de transformación natural.
  
  No sólo los tres conceptos básicos de la lógica (teoría, modelo, morfismo entre modelos) se conceptualizan en los tres conceptos fundamentales de la teoría de las categorías, o sea categoría (con ciertas propiedades), funtor (que preserva las propiedades) y transformación natural, sino que además gran parte de los resultados del álgebra universal son simplemente aplicaciones de resultados generales de la teoría de las categorías, (inmersión de yoneda, extensiones de Kan, funtores adjuntos, etc.). Por otro lado todos los resultados del álgebra universal pueden ser explicados desde el punto de vista categórico y al hacerlo muchos de ellos dan lugar a nuevos resultados categóricos con aplicaciones en diversos campos.
  
  Es obviamente importante observar que, a su vez, el punto de vista categórico ha producido nuevos resultados en el campo del álgebra universal como, por ejemplo, el teorema de existencia de adjuntos de funtores algebraicos funtores algebraicos (o sea, provenientes de una interpretación sintáctica) y los teoremas de definibilidad ya sea para las interpretaciones sintácticas o para los términos.
  
  Los puntos que acabamos de tratar y sus desarrollos más recientes, para algunos de los cuales recomendamos [22], [30] y [5], apoyan la tesis de que, también en el estudio lógico de las teorías y de sus modelos, la formulación tradicional, consistente en utilizar sistemáticamente el hecho de que los objetos de la teoría están constituidos como sucesiones particulares de símbolos, crea con frecuencia una diferencia artificial entre lógica y matemáticas que obstaculiza el desarrollo de sus estrechas relaciones, objetivamente existentes, que son estímulo para la investigación en los dos campos.
  
• b) Conjuntos.
  Se examinarán ahora algunos aspectos de [19], dedicado a la categoría de los conjuntos. Una motivación importante para tal trabajo provino de la contradicción entre la necesidad de enseñar la teoría de los conjuntos a los estudiantes que empiezan en la universidad y el hecho de que las únicas teorías no ingenuas disponibles eran ZF, GB y similares. Usualmente tal contradicción es arrinconada (o sea, no es resuelta), y se deja a un nivel informal el estudio de la teoría de conjuntos (teoría ingenua). Esto es "justificado" por la necesidad de, por un lado de introducir los conjuntos abstractos y, por otro lado, bien por la relativa complicación de teorías tales como ZF, o bien por su escasa utilidad, en el sentido de que sirven sólo para los conjuntos mientras que su debilitamiento o enriquecimiento no tiene en general ningún uso en las matemáticas (a diferencia por ejemplo del concepto de grupo que resulta fundamental también para el estudio de los monoides, de los anillos, de los espacios vectoriales y de sus innumerables ejemplos en la geometría y en el análisis).
  
  La categoría de los conjuntos es (un modelo de) una teoría axiomática no ingenua que goza además de la importantísima propiedad de que buena parte de sus axiomas, tomados separadamente o en grupos, son de enorme importancia porque se encuentran frecuentemente en varias partes de las matemáticas (piénsese, por ejemplo, en el axioma de productos, de coproductos, de igualadores, de coigualadores, y el axioma de exponenciales). Las propiedades específicas de los conjuntos, entre las cuales se cuentan el axioma de la elección y el hecho de que 1 (objeto terminal) es un generador, se insertan así en un tejido de utilidad general para las matemáticas.
  
  Lawvere ha hecho explícito su concepto de conjunto abstracto como "totalidad de elementos privados de estructura interna". Una tal totalidad resulta además ella misma estar privada de estructura interna (excepto por la igualdad o desigualdad entre sus elementos, la cual, sin embargo, existe sin razones); y está privada de estructura externa excepto por la cardinalidad. Este concepto de conjunto abstracto es hecho explícito en [31] y es contrapuesto, en la introducción de [27], al modo usual de entender la jerarquía de los conjuntos.
  
  El hecho de que se haya elegido para los conjuntos una teoría que los presenta como una categoría con determinadas propiedades y, análogamente, el que una teoría algebraica sea concebida como una categoría pequeña con productos finitos, no significa no reconocer que los conjuntos son totalidades de elementos y que una teoría está tradicionalmente constituida por símbolos y sus concatenaciones junto con un concepto de demostrabilidad, sino que simplemente significa el haber comprendido que las propiedades que determinan sus respectivos desarrollos son las que están concentradas en la categoría de los conjuntos y, respectivamente, en la de las categorías pequeñas con productos finitos.
  
  Por otro lado ha resultado claro que objetos que parecían tener poco en común con los conjuntos o con las teorías considerados en un modo constitutivo, resultan al contrario tener estrechas relaciones con ellos cuando se los concibe en su conceptualización categórica.
  
• c) Categorías Algebraicas.
  Un discurso análogo al relativo a los conjuntos había sido desarrollado en [18] donde Lawvere presenta la caracterización general de las categorías algebraicas, o sea de las categorías de modelos de una teoría algebraica de una especie.
  
  En efecto, después de establecer la diferencia entre los conceptos de "relación de equivalencia" y "congruencia", y de definir lo que se entiende al decir que un objeto de una categoría es un generador proyectivo regular abstractamente finito, establece el teorema según el cual una categoría es (equivalente a) una categoría de modelos de una teoría algebraica de una especie si y solo si
  • (1) tiene límites finitos,
  • (2) tiene un generador proyectivo regular abstractamente finito, y
  • (3) toda relación de equivalencia de esa categoría es congruencia.
  También este resultado contiene un salto cualitativo en cuanto que no sólo se determinan las condiciones sobre una categoría que caracterizan el hecho de que ésta sea equivalente a la categoría de modelos de una teoría algebraica, sino que se da una descripción directa de qué es una categoría de modelos de una teoría algebraica de una especie mediante sus propiedades objetivas, esto es, sin pasar por la presentación a través de una teoría, sus modelos y sus morfismos. Como en los casos anteriores se han aislado autónomamente las propiedades que caracterizan directamente las categorías algebraicas, en oposición a un mecanismo de `construcción' a partir de otros conceptos.
  
  Dicho de otra forma, el hecho de que una estructura matemática se conciba como un conjunto provisto de operaciones que satisfacen ciertas ecuaciones (esto es, como un funtor) y que un morfismo sea una aplicación que conserva las operaciones (esto es, una transformación natural) ya no es lo constitutivo del concepto de categoría algebraica en cuanto que esta última puede definirse más objetivamente como una categoría que satisface determinadas propiedades.
  
  Así pues el concepto de estructura algebraica se convierte en un concepto primitivo, y no derivado del de conjunto, si bien manteniendo con este último relaciones precisas, pero relaciones a igual nivel y no de subordinación o de constitución de uno en términos del otro. Es precisamente el estudio de estas relaciones lo que permite por otro lado el reconstruir la teoría algebraica, o sea las operaciones y las ecuaciones, a partir de la categoría algebraica. Esto último es en efecto un hecho general.
  
  Aquello que el pensamiento dialéctico concibe como relaciones entre dos aspectos de una cosa, suele ser reducido a un sólo aspecto considerado como fundamental y a la reconstrucción "estática" del segundo a partir del primero, reconstrucción efectuada utilizando aquello que, para el pensamiento dialéctico, eran las relaciones entre los dos aspectos introducidos autónomamente.
  
  d) La Categoría de las Categorías.
  El proceso de conceptualización desarrollado en lo concerniente a las teorías algebraicas, a los conjuntos y a las estructuras algebraicas, resulta aplicable también a la propia categoría de las categorías. En [21] Lawvere establece unos axiomas para la categoría de las categorías que demuestran que la teoría de las categorías puede ser desarrollada autónomamente sin ninguna referencia a los universos de la teoría de conjuntos [nota 3 Meloni]. Es decir, frente a la presentación tradicional de una categoría como formada de objetos y flechas, y de los funtores como aplicaciones apropiadas entre los objetos y entre las flechas, esto es, frente a una definición constitutiva de la categoría de las categorías, Lawvere resuelve el problema, relevante para la práctica matemática, de determinar sus propiedades centrales tomándolas como base axiomática para una descripción directa que presente las definiciones usuales no como constitutivas sino como la existencia de determinadas relaciones entre entes introducidos autónomamente.
  
  Una de esas propiedades centrales es la de la existencia de la construcción universal (llamada en ingés por el horrible e inadecuado nombre de "comma category"), descrita por primera vez en [21] y de gran importancia por el número de aplicaciones que tiene. Esta construcción es un tipo especial de triple producto fibrado [nota 4 de Meloni] cuya primera aplicación fue la de caracterizar autónomamente el concepto de funtores adjuntos.

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Referencias:

[21] F. William Lawvere. The category of categories as a foundation for mathematics. Proc. Conf. on categorical Algebra, pages 1{20, 1968.

[18] F. William Lawvere. Functorial semantics of algebraic theories. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 50(5):869{872, Nov 1963.

[19] F. William Lawvere. An elementary theory of the category of sets. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 52(6):1506{1511, Dec 1964.

[21] F. William Lawvere. The category of categories as a foundation for mathematics. Proc. Conf. on categorical Algebra, pages 1{20, 1968.

[10] A. Grothendieck and J. A. Dieudonné. Eléments de Géométrie Algébrique I, pages 4{18. Springer, Berlin, 1971.

[9] P. Freyd. Abelian Categories. Harper and Row, New York, 1964.

[35] B. Mitchell. Theory of Categories. Academic Press, New York, 1965. [36] P. S. Mulry. Generalized Banach-Mazur functionals in the topos of recursive sets. Journ. Pure Appl. Algebra, 26:71{83, 1982.

[15] J. Lambeck. Torsion Theories, Additive Semantics and Rings of Quotients, volume 177 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, Berlin, 1971.

[22] F. William Lawvere. Some Algebraic Problems in the context of Functorial Semantics of Algebraic Theories, volume 61 of Lecture Notes in Math., pages 41{61. Springer, New york, 1968.

[30] F. William Lawvere. Introduction to part I. In Model Theory and Topoi, volume 445 of Lecture Notes in Mathematics, pages 3{14. Springer, New york, 1975.

[5] M. Bunge. Toposes in logic and logic in toposes. In Proceedings of the Meeting of the Society for Exact Philosophy, Vancouver, Apr 1983.

[19] F. William Lawvere. An elementary theory of the category of sets. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 52(6):1506{1511, Dec 1964.

[31] F. William Lawvere. Variable quantities and variable structures in topoi. In Algebra, Topology, and Category Theory, pages 101{131. Academic Press, New york, 1976. A collection of papers in honor of Samuel Eilenberg.

[27] F. William Lawvere. Quantifiers and sheaves. Actes Congr. Intern. Math., 1:329{34, 1970.

[18] F. William Lawvere. Functorial semantics of algebraic theories. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 50(5):869{872, Nov 1963.

[2] M. Artin, A. Grothendieck, and J. L. Verdier. Théorie des topos. SGA, 269- 270(4), 1972.

[16] S. Mac Lane. Categories for the Working Mathematician, volume 5 of G. T. M. Springer-Verlag, 1971.