matematerialismos y turbulencias

5. Adjunción en los Fundamentos

Pasamos ahora a [20], donde Lawvere discute la relevancia del concepto de adjunción respecto de los fundamentos de las matemáticas. El artículo comienza con el reconocimiento de que:

[las] matemáticas parecen comprender dos aspectos duales que podemos llamar el Formal y el Conceptual. ... Por tanto lo Conceptual es el tema de lo Formal

y más adelante:

Siendo parte de las matemáticas, los Fundamentos también participan de la dualidad Formal-Conceptual. ...si uno quisiera tomar esas nociones [de `Conceptual', `Formal' y `Fundamentos'] en serio, parecerÍa seguirse que una característica esencial de cualquier intento de formalizar los Fundamentos sería una descripción de esta pretendida "dualidad" entre lo Formal y lo Conceptual

Por otro lado la importancia del concepto de adjunción es resaltada con los siguientes ejemplos:

La estructura de una categoría cartesiana cerrada está dada completamente en términos de adjunciones, así como lo está la estructura de una "hiperdoctrina", que también incluye cuantificadores. ...recursión (al menos en los números naturales) también está caracterizada completamente por un apropiado adjunto; por tanto es posible dar una teoría, groseramente la teoría de la demostración de la teoría intuicionista de números de orden superior, en la que todos los axiomas importantes (lógicos o matemáticos) expresan casos de la noción de adjunción

Así pues, en muchas situaciones matemáticas ocurre cierta forma específica del concepto de funtor adjunto. Con él, por ejemplo, se caracterizan en lógica las conjunciones, los cuantificadores, el orden superior, los números naturales y una forma del esquema de comprensión.

Por lo tanto se ve que en varios campos de las matemáticas lejanos de la lógica están presentes operaciones que tienen las mismas propiedades formales que, por ejemplo, los cuantificadores y que por lo tanto pueden considerarse como "cuantificadores".

Otro punto relevante discutido en [20] es la toma de conciencia explícita de que el estudio de los fundamentos de las matemáticas no debe reducirse al problema de la "seguridad". En efecto, dice Lawvere:

Por Fundamentos entenderemos aquí el estudio de aquello que es universal en las matemáticas. Por lo tanto los Fundamentos en este sentido no pueden ser identificados con ningún `punto de partida' o `justificación' de las matemáticas, si bien resultados parciales en esta dirección pueden encontrarse entre sus frutos. Pero entre los otros frutos de los Fundamentos así definidos habrá presumiblemente guías para pasar de una rama de las matemáticas a otra y para saber qué direcciones de investigación es verosimil que resulten relevantes

Es este un punto extremadamente importante sobre el cual nos extenderemos brevemente.

Ciertamente la investigación es parte de la problemática de los fundamentos, por ejemplo las demostraciones de coherencia de varios sistemas formales para las distintas partes de las matemáticas; pero esas cuestiones no colman la problemática de los fundamentos, al contrario, constituyen solamente un aspecto específico, importante, pero muy particular. Junto al problema de coherencia de una teoría de un determinado objeto se plantean otros como por ejemplo el problema de determinar aquello que es "universal" en las matemáticas (o sea de aislar los puntos de vista generales que emergen de la conceptualización de la práctica matemática) o el de comprender cuál o cuáles son las teorías que expresan en modo más transparente las propiedades de un objeto. Esto último, a diferencia de lo primero, puede ser en parte un problema de lógica deductiva (a saber: el confrontar el poder deductivo de las varias teorías) pero no se reduce solamente a este aspecto, como resulta evidente en el caso de teorías con igual poder deductivo, entre las cuales se han hecho, históricamente, elecciones basadas no en el gusto personal sino en criterios de centralidad precedentemente ilustrada (piénsese, como un ejemplo más, en los varios fundamentos de la Geometría: de Euclides a la Geometría Analítica, a la Geometría Proyectiva, al Cálculo Geométrico de Grassmann).

Es interesante notar que tres años antes de [20], en [21], Lawvere afirmase en lugar de ello que:

Aquí entendemos por fundamentos un sistema único de axiomas de primer orden en el cual todos los objetos matemáticos usuales puedan ser definidos y todas sus propiedades usuales demostradas

Es evidente el desarrollo del pensamiento de Lawvere en aquellos tres años, pero a fin de que su posición de 1966 no sea malentendida a la luz de sus afirmaciones de 1969, es necesario subrayar que en [21] el problema que estaba sobre el tapete era otro; como ya hemos dicho se trataba allí sobre todo de mostrar que la teoría de las categorías podía ser desarrollada autónomamente.

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6. Teoría de topos

La teoría de topos (elementales) fué descubierta y desarrollada por Lawvere y Tierney, y está enraizada en la teoría de haces sobre un sitio, o sea en los topos en el sentido de Grothendieck [2]. Aquí nos referiremos en particular a [27], [29], y [31].

El concepto de topos surgió de cinco experiencias matemáticas y lógicas de los años sesenta que son:

• La categoría de los conjuntos de Lawvere,
• Los topos de Grothendieck,
• El forzamiento de Cohen,
• El análisis no estandard de Robinson,
• Los modelos de Kripke de la lógica intuicionista.

Los topos no son otra cosa que los modelos de una teoría axiomática de conjuntos variables con continuidad expresada en lenguaje categórico y sin ninguna referencia a los conjuntos constantes en cuanto que se trata de una teoría esencialmente algebraica. La variabilidad objetiva (geométrico-física) y subjetiva (estados del conocimiento) son respectivamente el objeto del segundo y del quinto ejemplo; en el tercero y en el cuarto el modelo final se obtiene a través de la construcción intermedia de un modelo variable, mientras que el primer ejemplo es el que hace posible la idea de un tratamiento axiomático categórico de los conjuntos variables.

La gran simplicidad de la teoría de topos y su utilidad en muchos campos de las matemáticas y de la lógica han dado un "duro golpe" al modo de pensar según el cual una cantidad variable no es otra cosa que una aplicación conjuntista que a cada elemento del dominio de variación asocia un valor en el codominio. La teoría de los topos ha mostrado que es posible y útil hablar, directa y axiomáticamente, de la totalidad de las cantidades variables definidas sobre un espacio sin necesidad de la construcción tradicional del espacio como conjunto de puntos estructurados ni de las cantidades variables como aplicaciones conjuntistas especiales. También en este caso se tiene una contradicción, (entre lo constante y lo variable) que se ha desarrollado con la teoría de los conjuntos en los últimos cien años en el sentido de una eliminación de lo variable como polo autónomo y de una reconstrucción suya en el seno de lo constante. Ahora, en lugar de ello, lo variable y lo constante son considerados autónomamente y se ha puesto en el centro el estudio de sus relaciones, como por ejemplo el estudio de los eventuales puntos de un espacio.

La simplicidad de la teoría de conjuntos variables con continuidad (teoría de topos) consiste en el hecho de que se trata de una teoría "usual" de conjuntos (en versión categórica) para la cual, en general, no tiene porqué cumplirse el axioma de la elección, la lógica no tiene necesariamente sólo dos valores de verdad y dicha lógica no es necesariamente clásica sino que en general es solamente intuicionista.

Por lo tanto tenemos que una proposición demostrada solamente con la lógica intuicionista es automáticamente cierta en cualquier topos y ésto significa tanto que es cierta en las categorías de haces [37], como que se trata de un resultado estable al variar parámetros eventuales [39]. Así pues la lógica intuicionista se configura, en este contexto, como la lógica de una forma específica de variabilidad objetiva que se encuentra en geometría en la teoría de haces.

Cierto es, por otro lado, que los aspectos constructivos son aspectos interesantes de las matemáticas, y se ve ahora claramente que el tipo de movimiento (inter)subjetivo del conocimiento tiene leyes formales análogas al movimiento general objetivo, de tipo geométrico, concentrado en la teoría de haces. ésta, por otro lado, ha sido recientemente usada en [36] para clarificar algunos aspectos de la teoría de la recursividad.

En general la teoría de topos ha mostrado en qué sentido algunas de las tesis tradicionales del pensamiento dialéctico (como la tesis de que el movimiento no es reducible a un conjunto de posiciones constantes, contrariamente a lo que es teóricamente supuesto en las reconstrucciones conjuntistas de las matemáticas, o la tesis de que una totalidad, por ejemplo un espacio, no es en general reducible a la colección de sus elementos provistos de eventual estructura) resultan de gran importancia y centralidad incluso en el corazón de la investigación matemática actual.

En resumen, la matemática, entrada en el campo de la variabilidad con el estudio de las cantidades variables de Descartes y de Newton, pero parcialmente desviada por la rígida fundamentación conjuntista de la segunda mitad del siglo pasado ha desarrollado finalmente instrumentos conceptuales adaptados a una fundamentación autónoma de los aspectos de variabilidad que desde hace cuatro siglos son parte del objeto que ella indaga.

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