Comentarios y lecturas de: "La teoría de categorías. Fundamentos de las matemáticas y del materialismo dialéctico", por C. Meloni.
Este artículo es una traducción resumida (de Emilio Faro) de...
7. La Lógica Generalizada
Las conexiones entre lógica y teoría de las categorías fueron profundizadas
en [28]. También en este caso, partiendo de las elaboraciones
teóricas desarrolladas en la investigación matemática que han llevado
al concepto de categoría cerrada como conceptualización de situaciones
relativamente complejas [8], Lawvere no sólo ve la categoría de los
conjuntos como un caso particular de categoría cerrada (y, por tanto,
la teoría de categorías como una especialización, importante pero particular,
del concepto general de categoría basada sobre una categoría
cerrada) sino que además reconoce la posibilidad y utilidad de interpretar
los objetos de una categoría cerrada como conceptos de una
teoría proposicional en un sentido ampliado respecto al usual. En esta
interpretación las flechas entre objetos son demostraciones o deducciones
de un concepto a partir de otro y las operaciones fundamentales
de una categoría cerrada (el producto tensorial y su adjunto por la
derecha, el funtor hom interno) son, respectivamente, la conjunción y
la implicación entre conceptos.
De este modo se llega a una ampliación de la lógica que puede parecer
extraña a primera vista porque las demostraciones usuales canónicas
A & B → A
A & B → B
A → A & A
no tienen correspondiente en toda categoría cerrada. Por otra parte tal
lógica, que Lawvere llama lógica generalizada, puede ser formulada en
modo tal que para ella valgan todas las reglas deductivas usuales, con la
regla de eliminación de la conjunción modificada adecuadamente (pero
de modo natural) y con la sóla excepción de las reglas estructurales de
contracción y de expansión.
En lo concerniente a la regla de modus ponens se tiene que es válida en ciertos ejemplos significativos, como para los módulos sobre un anillo conmutativo, pero debe ser abandonada como regla general para poder tener en cuenta importantes situaciones, conceptualizadas por ejemplo en la definicion de bicategoría. La
práctica matemática sugiere que cuando falta la regla de modus ponens se usen en su lugar dos implicaciones, una a la derecha y otra a la izquierda, que satisfacen las reglas
A & Γ → B Γ & A → B
________ _________
Γ → A ⇒ B Γ → B ⇐ A
Se llega aquí a una lógica que por un lado se puede expresar de modo simple y se presenta a la indagación formal como una lógica básica y por otro lado su campo de aplicaciones matemáticas se ve grandemente expandido, tanto con respecto a la lógica tradicional clásica de los conjuntos constantes, como con respecto a la lógica intuicionista de los conjuntos variables.
Tal lógica obviamente no está limitada al fragmento proposicional del que hemos hablado; por ejemplo, en la teoría de módulos se tiene que la restricción de escalares a lo largo de un morfismo f : X → Y de anillos se configura como la sustitución de un término de una fórmula y las extensiones a izquierda y derecha de escalares, Y X(—), y
Hom x(y;—), no son otra cosa que los cuantificadores existencial y universal (∃f, ∀f) de tal sustitución.
Volviendo al fragmento proposicional, en cuanto a la conjunción y a la implicación, vistas como producto tensor y como funtor hom interno, hay una ulterior conjunción y una disjunción vistas como producto cartesiano y como coproducto, y una importante propiedad de los módulos es que estas dos últimas operaciones coinciden en el concepto de suma
directa. En este ejemplo aún se puede considerar el módulo dual como un tipo de negación y los módulos libres finitamente generados, al coincidir con su doble dual, satisfacen el principio de la doble negación.
De cuanto se ha visto hasta ahora resulta que el concepto de categoría puede usarse como base para describir intrínsecamente:
- (1) una
totalidad de estructuras de un cierto tipo junto con sus morfismos,
- (2)
una totalidad de definiciones de conjuntos en una teoría adecuada con
definiciones relativas de funciones en la teoría, donde en este caso la
igualdad de flechas significa demostrabilidad en la teoría de tal igualdad,
- (3) una totalidad de conceptos con demostraciones como flechas
entre ellos, donde la igualdad de demostraciones significa en general
coincidencia módulo círculos viciosos, y
- (4) una sola estructura matemática en el sentido de que un (pre)orden es una categoría pequeña con a lo sumo una flecha entre cada dos de sus objetos, un monoide es una categoría pequeña con un solo objeto, un anillo es una categoría aditiva con un solo objeto y un espacio topológico puede ser útilmente generalizado tratándolo como el topos de haces definidos sobre el espacio.
Si consideramos como categoría (en sentido general) no sólo las categorías basadas sobre los conjuntos sino también las categorías basadas sobre una categoría cerrada arbitraria, entonces se tiene que no sólo las que se llaman categorías aditivas (por tanto en particular también cualquier anillo) resultan ser categorías en sentido general sino también que un espacio métrico, adecuada y útilmente generalizado, no es otra cosa que una categoría en sentido general cuando se toma como categoría cerrada de base la de las cantidades no negativas con la suma como producto tensor.
También en este caso es interesante el punto de vista presentado en [28] porque gran parte de las construcciones y teoremas de las categorías aditivas y de los espacios métricos no son más que particularizaciones de construcciones y teoremas de la teoría de categorías en sentido general y, en otra dirección, la investigación y conceptualización de construcciones o teoremas en un ejemplo particular nos lleva inmediatamente a encontrar nociones y resultados de la teoría de categorías en sentido
general.
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8. El concepto general de categoría: categorías basadas en una categoría cerrada
Si es verdad, por un lado, que en muchos ejemplos una categoría basada sobre una categoría cerrada debe pensarse como una categoría enriquecida, en el sentido de que entre dos de sus objetos hay no solamente un conjunto abstracto de morfismos sino que éstos forman una estructura de un tipo determinado, por otro lado, si tomásemos en serio el hecho de que las estructuras de un cierto tipo son descritas más objetivamente como categorías con propiedades adecuadas, y no como construcciones del tipo "conjuntos dotados de operaciones y relaciones", deberíamos reconocer que
el concepto de categoría (basada sobre los conjuntos) no es el concepto general de categoría sino que el concepto
general es en realidad el de categoría basada sobre una categoría cerrada arbitraria del cual el de categoría basada sobre los conjuntos representa un caso particular.
De este modo aquello que aparece como enriquecido (o sea, más complejo) cuando se lo considera en términos de una presentación conjuntista, se revela de hecho más simple si se contempla desde el punto de vista de las propiedades formales que lo describen directamente; y aquello que aparecía simple (el concepto de categoría basada sobre los
conjuntos) resulta más bien una determinación maximal y por tanto más compleja del concepto general de categoría basada sobre una categoría cerrada arbitraria. Esto es la consecuencia inevitable del hecho de que la lógica generalizada, si bien descubierta después que las otras, resulta en realidad ser la lógica de base y no tiene por tanto necesidad de ser fundada sobre otra cosa que sí misma; son, al contrario, la lógica intuicionista y la lógica clásica las que vienen a presentarse como sus especializaciones.
Según lo dicho, los nombres "categoría" y "lógica" deberían estar reservados, como cuestión de principio, para los conceptos que hoy llamamos "categoría basada sobre una categoría cerrada" o "categoría enriquecida" y "lógica generalizada según
Lawvere". Además esta última muestra cómo es posible y útil ensanchar el concepto usual de lógica hasta incluir entre sus objetos no sólo construcciones mentales subjetivas como proposiciones y demostraciones, sino también entes traídos del mundo externo tales como espacios vectoriales y aplicaciones multilineales. Se tiene de esta forma que la lógica de lo subjetivo y la de lo objetivo son siempre más similares en sus propiedades formales.
Un punto brevemente discutido en [28] pero importante para los fundamentos se refiere a la abstracción en las matemáticas. Contrariamente
a los que conciben la abstracción como un alejamiento del objeto de estudio y como material sobre el cual desarrollar nuevas abstracciones [38], tenemos en lugar de ello que la abstracción conceptual, cuando es seguida correctamente, es el único modo de conocer al objeto; y si la contradicción entre el objeto y el concepto, o entre los varios conceptos, lleva a la elaboración de nuevas estructuras teóricas, éstas deben mostrar su utilidad ciertamente también en relación con los conceptos preexistentes, pero sobre todo en la relación directa con los objetos de nuestro estudio.
Un punto ulterior considera el hecho de que en la investigación de los conceptos matemáticos, la generalidad es sólo uno de los polos a los que hay que prestar atención, siendo el otro la particularidad. Dicho de otra forma, para cada situación matemática específica existe un nivel preciso de generalidad respecto al cual tal cuestión debe ser tratada, y es un problema científico relevante el de determinar tal nivel preciso de generalidad en cada caso. En particular, para toda una serie de cuestiones de
álgebra, el punto de vista del álgebra universal resulta inadecuado por ser demasiado general, y el punto de vista de las categorías basadas sobre los conjuntos resulta inadecuado por ser demasiado particular; de hecho para tales cuestiones (Inmersión de Yoneda, extensiones de Kan, etc.) el justo nivel de generalidad se encuentra en la abstracción concreta cristalizada en el concepto de categoría basada sobre una categoría cerrada o sea en una estructura algebraica muy simple, la de categoría, pero desarrollada en el contexto de la lógica generalizada.
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Las categorías son un medio apropiado para desarrollar una teoría del espacio que evite ciertas complicaciones e inútiles reducciones conjuntistas, y que tenga una aplicación inmediata a la mecánica. Tal teoría del espacio comenzó en una serie de conferencias que Lawvere dió en la Universidad de Chicago en 1967 en las que propuso una axiomatización para la categoría de los espacios y de las funciones suaves en la que el objeto de números reales R está dotado de un subobjeto no trivial D "de nilpotentes". Esta propuesta tenía como objetivo el mejorar los fundamentos de la geometría diferencial tanto en el sentido de una simplificación como en el de expandir su alcance para incluir variedades diferenciales de dimensión infinita, que aparecen en muchos problemas de Física los cuales no siempre pueden reducirse a problemas en dimensión finita.
En la introducción de [33] leemos:
...comprendió claramente que para hacer posible el aprendizaje,
desarrollo y uso de la geometría diferencial concreta
infinito-dimensional es necesario reconstruirla como concepto,
y que esta reconstrucción sólo es posible sobre la base de una
determinación clara de la relación general abstracta decisiva
del tema, y que para conseguir esta última determinación es
obligado desarrollar la teoría de categorías
Aunque hay algunos intentos de modelar las variedades de dimensión infinita en espacios de Banach o de Hilbert, es necesario darse cuenta de que aunque tanto los espacios de Banach como los de Hilbert son buenas herramientas de cálculo, algo tan fundamental como el espacio de todas las funciones suaves entre dos variedades de dimensión finita no es una variedad de Banach. Como Grothendieck puso de relieve ya en los años cincuenta, esos espacios de funciones diferenciables o analíticas son cualitativamente distintos de lo espacios de Banach. Son más bien espacios nucleares. Podría pensarse que una posibilidad sería construir una teoría de las variedades que localmente son espacios nucleares, pero la propuesta de Lawvere es una solución más drástica, que consiste, como dice en [33], en tratar de reconstruir la geometría diferencial como
concepto, es decir, de describirla axiomáticamente.
Con la propuesta de dotar al objeto de números reales de un subobjeto de nilpotentes es posible desarrollar rápidamente, y de forma puramente algebraica (sin recurrir al concepto de límite), tanto el formalismo del análisis como la geometría diferencial. Es evidente que esta propuesta está basada tanto en el fructífero uso que Grothendieck
hizo de los nilpotentes en la geometría algebraica como en la confianza proveniente de la existencia de las eficaces conceptualizaciones de la categoría de las categorías, de las teorías algebraicas, de las categorías algebraicas y de los conjuntos, que habían sido encontradas en los años precedentes. En realidad aquellas conceptualizaciones
habían sido conscientemente realizadas como primeros pasos de un proceso que tenía como objetivo hacer de las matemáticas un medio más adecuado para expresar las propiedades del espacio, la cantidad y el movimiento.
La axiomatización para los espacios y las funciones suaves propuesta por Lawvere en sus conferencias de 1967 fué un poco prematura en el sentido de que para ser aceptada resultaron de gran utilidad los trabajos desarrollados en los años siguientes que, por medio del concepto de topos, han esclarecido las relaciones entre las categorías y los espacios y entre las categorías y la lógica. De hecho, después de que la teoría de topos y la lógica categórica alcanzasen un alto grado de desarrollo, se ha visto un regreso a los temas lawverianos del 67, sobre todo en la obra de Kock [14], aunque ésta se limita a los aspectos referentes a la geometría diferencial.
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Referencias:
[28] F. William Lawvere. Metric spaces, generalized logic, and closed categories. Rend. Sem. Mat. Fis. Milano, xLIII:135{166, 1973.
[8] S. Eilenberg and G. M. Kelly. Closed categories. Porc. of Symp. in Pure Math., xVII:421{562, 1970.
[38] Lombardo Radice. Un nuovo livello di astrazione: la teorie delle categorie. Le Scienze, 21:38-44, 1970. [33] F. William Lawvere. Toward the description in a smooth topos of the dynamically possible motions and deformations of a continuous body. Cahiers Topologie Géom. Différentielle Catég., XXI(4):377{392, 1980. 3e Colloque sur les Categories Dedie a Charles Ehresmann.
[14] A. Kock. Synthetic Differential Geometry (London Math. Soc. Lect. Notes Series, volume 50. Cambridge University Press, Cambridge, 1981.
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