Comentarios y lecturas de: "La teoría de categorías. Fundamentos de las matemáticas y del materialismo dialéctico", por C. Meloni.
Este artículo es una traducción resumida (de Emilio Faro) de...
11. La cantidad pura unidimensional
Entre los argumentos que pertenecen estrictamente a los fundamentos de las matemáticas está el concerniente al significado del anillo de los números reales
R, o sea de la cantidad pura unidimensional. Los números reales no son presentados aquí de un modo "lógico", esto es, reconstruidos conjuntistamente a partir de los racionales, sino que son
definidos de modo geométrico como razones, o sea como endomorfismos del grupo abeliano de las traslaciones del espacio euclídeo unidimensional, donde la métrica de éste toma valores en el monoide conmutativo de las longitudes y donde no hay endomorfismos no continuos (al contrario que en la categoría de conjuntos) porque todos los morfismos se
suponen ser suaves.
Se trata aquí en cierto sentido de un regreso al punto de vista de la matemática griega con el reconocimiento de que en los fundamentos de la geometría intervienen tanto el punto de vista sintético (el espacio tiene un conjunto de puntos, etc.) como el punto de vista algebraico (las longitudes que miden la distancia entre puntos forman un monoide conmutativo ordenado, etc.), mientras que usualmente la geometría se ha basado unilateralmente sobre uno sólo de los dos aspectos
[nota 5. Meloni].
Por otro lado, mientras que los griegos concebían las razones solamente mediante su presentación por pares de segmentos y la famosa definición de igualdad de Eudoxo,
Lawvere toma el concepto de endomorfismo como la definición intrínseca, objetiva, del concepto de razón. Entonces el punto de vista de los griegos resulta ser simplemente la representación de un endomorfismo a partir de generadores libres.
El axioma fundamental que permite desarrollar el cálculo diferencial afirma que el "conjunto" D = {d ∈
R | d
2 = 0} de los infinitésimos de primer orden es lo suficientemente pequeño como para hacer rectilínea cualquier función definida sobre D y con valores en
R, y es lo bastante grande como para determinar completamente tal recta. Un hecho interesante que se deduce de la existencia de tal objeto es que la conmutatividad del producto en
R (composición de endomorfismos) puede ser demostrada a partir de los axiomas fundamentales del cálculo diferencial e integral, y que el cálculo integral puede ser formulado independientemente del cálculo diferencial.
El significado general del objeto D emerge de que para un espacio arbitrario X, el concepto de vector tangente (concebido como "movimiento de duración infinitesimal"), no es más que el de un morfismo t : D → X, siendo t(0) el punto en el que t es tangente a X. Con esta definición de vector tangente resulta que la derivada direccional de una
función f : X → Y en la dirección de un vector tangente t : D → X no es más que la composición ft: D → Y . Esto nos da una idea de la simplificación que se obtiene con este método. En particular se pueden tratar directamente las transformaciones infinitesimales y llegar mediante su uso a una definición directa de operaciones tales como el corchete de Lie entre campos vectoriales.
Esta simplificación resulta posible, además de por la presencia de D, por el hecho de que en la categoría existan los objetos exponenciales o espacios de funciones, es decir que para cualesquiera espacios X e Y existe un espacio Y
X cuyos puntos son las funciones de X a Y [nota 6. Meloni]. Si X e Y son espacios cualesquiera, el fibrado tangente de X no es más que la función "evaluar en 0"
x
D → X
y un vector tangente al espacio de funciones X
Y (esto es, un morfismo D → X
Y ) es equivalente a una función Y → X
D que asocia a cada punto de Y un vector tangente al espacio X.
[nota 7. Meloni] Hay que notar que el axioma fundamental no sólo es falso en la categoría de conjuntos abstractos constantes, y en general incompatible
con la lógica clásica, sino que además no es satisfecho en ningún topos
por el "objeto de los números reales de Dedekind", esto es, no es satisfecho
por el objeto obtenido efectuando en el topos la construcción
de los números reales a partir de los números racionales por la técnica
de las cortaduras de Dedekind. Tal objeto siempre satisface que "todo
elemento no invertible es cero", lo cual basta para reducir D a 1 y
evitar que satisfaga el axioma fundamental.
Así pues, es posible desarrollar la geometría diferencial en forma completamente autónoma, sin basarla en un concepto de número real dado a priori y proveniente del exterior de la geometría. Muy al contrario, vemos que el concepto de número necesario en la geometría diferencial surge de la propia geometría, cuyos principios son autosuficientes y
están inspirados directamente en el mundo real (lo cual es importante a la hora de darle aplicación a la física). Por otro lado, es cierto que la teoría del mundo físico en que se inspira la definición de
R (y por tanto la de D) ha tenido que ser reconsiderada en vista de los problemas que han dado lugar a la teoría de la relatividad; sin embargo esto no causa problema porque
Lawvere ha dado una definición intrínseca del objeto D en términos de sus propiedades categóricas, que para él caracterizan el concepto de objeto chiquito (inglés tiny)8, y seguidamente ha mostrado que es posible obtener R como el espacio tangente a D en su único punto (cero), lo cual nos presenta los números reales como el anillo de las razones de las cantidades infinitesimales. De esta forma la cantidad pura unidimensional queda definida a partir de los aspectos locales de la geometría evitando la hipótesis de la estructura euclideana del espacio.
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12. La definición covariante de espacio frente a su definición contravariante
De las ideas que acabamos de exponer ha surgido un nuevo enfoque de la geometría que se conoce como "geometría diferencial sintética".
Las relaciones existentes entre este enfoque y el modo tradicional de concebir la geometría diferencial pueden estudiarse estableciendo inmersiones de la categoría de las variedades diferenciales tradicionales en categorías que satisfacen los axiomas propuestos por Lawvere.
Este método consiste en lo siguiente: por un lado tenemos una categoría particular de espacios concretos a los que, debido a su significado físico, no estamos dispuestos a renunciar. Por otro lado, esta categoría suele presentar el problema de ser "incompleta" en el sentido de que carece de las construcciones y propiedades de exactitud (dictadas por su significado geométrico) que son esenciales para tener una teoría manejable. La solución es "añadir lo que falta", en el sentido de obtener una inmersión mediante la cual esa categoría aparezca como una subcategoría llena de otra en que se puedan realizar las construcciones deseadas.
Una solución general a este problema de "completar" una categoría está dado por las inmersiones de Yoneda, que se pueden hacer de dos formas "opuestas": una inmersión covariante en una categoría "de naturaleza geométrica" y una inmersión contravariante en una categoría "de naturaleza algebraica". La inmersión covariante, que corresponde
a una definición "geométrica" del espacio consiste en considerar un espacio X no como una totalidad de puntos, sino más bien como una totalidad de caminos y más generalmente como una totalidad de figuras vistas como morfismos A → X definidos en todos los posibles "patrones" o "tipos de figuras" A. De esta forma, una función entre
espacios determina y está determinada por una aplicación del conjunto de las figuras del primer espacio al de las del segundo. Por supuesto, tal aplicación no es arbitraria sino que necesariamente será compatible con las transformaciones entre las figuras de X, es decir, será natural.
Dicho en lenguaje categórico, a cada espacio X se le hace corresponder un funtor "figuras de X" (el funtor Fx = Mor(—;X)) y a cada función
X → Y una transformación natural Fx → Fy de forma que obtenemos
un funtor "figuras" (= F) que es una inmersión (de Yoneda) de la categoría de espacios dada en una categoría de funtores.
Esta concepción de espacio es esencialmente la utilizada por los fundadores del cálculo de variaciones, como se puede ver en [6], y es interesante que la forma de pensar de Euler, a pesar de haber sido negada y arrinconada por la aritmetización del análisis del último siglo, regresa ahora, reformulada adecuadamente para ser extremadamente útil en la investigación matemática actual.
Este concepto "covariante" del espacio se opone al concepto "contravariante" según el cual la estructura del espacio está determinada no por sus figuras sino por las funciones definidas sobre él [nota 9. Meloni]. En general las categorías construidas por medio de figuras (es decir, en forma covariante) satisfacen las propiedades de exactitud requeridas en geometría, mientras que las categorías construidas por medio de funciones (que son las categorías opuestas de las anteriores) no satisfacen dichas propiedades (sino que satisfacen las propiedades duales). Ésta es la razón por la que la categoría de espacios topológicos carece de buenas construcciones (por ejemplo exponenciales) desde el punto de vista geométrico. Por otro lado ejemplos sencillos de "buenas" categorías de espacios geométricos son las categorías de grafos, y, con mayor generalidad,
la categoría de espacios simpliciales.
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13. Elementos generalizados y lógica intuicionista
De cuanto hemos dicho hasta aquí resulta claro que es útil aprender a desarrollar las matemáticas en una categoría con la misma naturalidad
rapidez y seguridad con que hoy día trabajan todos los matemáticos con los conjuntos. Para ello es muy útil desarrollar un tipo de intuición conjuntista-geométrica que le permita a uno considerar los morfismos del tipo X: A → X como elementos (generalizados) de X definidos sobre A, e incluso mejor como figuras (¿singulares?) de tipo A en
X. Esta idea, aplicada a la categoría de conjuntos, es resumida por Lawvere, en el lema:
Elementos son aplicaciones, evaluación es composición, y
evaluar una composición es aplicar la ley asociativa.
Este punto de vista es, en un sentido preciso, dual u opuesto al lógico-algebraico según el cual tales morfismos son vistos como "propiedades" o funciones de A con valores en X. Ambos puntos de vista son útiles en sus respectivos dominios de aplicación, pero es necesario saber distinguir cuál es útil en cada caso y no tratar de restringirse a
uno sólo de ellos forzando todos los conceptos a ajustarse a él. Esto es lo que ocurre en el enfoque corriente de la teoría de las distribuciones en el que se las considera como "funciones generalizadas" (creando una confusión innecesaria) a pesar de que las funciones no pueden considerarse como un caso particular de distribuciones sin la elección (de ningún modo canónica) de una medida de referencia. Más correcto sería considerarlas "medidas generalizadas" puesto que en el caso de que el espacio considerado sea una variedad diferencial arbitraria las distribuciones "miden" no sólo conjuntos de puntos sino también de vectores tangentes, etc.
Además de lo dicho resulta útil también acostumbrarse a trabajar en un lenguaje lógico usando solamente las reglas intuicionistas. De esta forma toda fórmula demostrada en tal lenguaje resulta válida automáticamente en todo topos. Del conocimiento detallado de estos métodos y de su uso sistemático en la investigación matemática ha surgido un punto de vista que consiste en trabajar (por ejemplo en un topos) formalmente de la misma forma que los matemáticos trabajan normalmente en conjuntos, teniendo cuidado de utilizar únicamente principios que son válidos en el universo en que uno se halle.
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