Sea un rebaño de ovejas hace unos cuantos milenios. Sea un pastor que nunca usó esto: 'un', 'dos', 'tres', etc. O sea, "los números".
Sea el bolsillo del pastor, donde tiene cuentas, piedras. Unas cuantas cuentas que le ayudarán a hacer las cuentas sobre sus ovejas.
¿Cómo cuenta sus ovejas él que nunca quiso o querrá usar palabras? Pues mediante gestos que relacionen las piedras-cuentas con las ovejas. Mantendrá siempre el mismo número de cuentas en su bolsillo que de ovejas en su rebaño.
Aún no ha puesto nombre a esta relación entre cuentas y ovejas
Como vemos, el pastor nos prestó sus cuentas para ilustrar todo esto con la figura de arriba.
El pastor tiene algunas ovejas bautizadas, pero no sabemos sus nombres, por eso hemos puesto 1, 2, 3.... Otras ovejas no las tiene bautizadas y él se limita a ponerlas en identificación con las cuentas de su bolsillo por la noche cuando "cuenta" las ovejas, cuentas que no tiene que perder si no quiere perder a su vez sus ovejas.
Cada vez que hace una identificación entre una piedra y una oveja el pastor sabe muchas cosas, y lo "bueno" es que ya se ha dado cuenta:
1.- que es su rebaño lo que está contando, y, además, que sólo cuenta "cosas" de la misma "especie", ovejas, sin importar el tamaño, etc. y
2.- que por tanto cada gesto de contar con la cuenta-piedra es en cierto modo equivalente, sólo que repetido y que por ello
3.- puede sustituir cada gesto-conteo-asimilación de un par piedra/oveja por una palabra mágica ('un', 'dos', 'tres', etc.) que no signifique nada pero que dé cuenta de la acumulación que obtiene en su establo.
El pastor acaba de inventar la práctica de la teoría de conjuntos y por otra parte algo práctico de teoría de números (por lo menos algo de su "definición").
El pastor acaba de enfrentarse con el Uno platónico: que es un Uno en tanto proceso-de-hacer-uno, proceso y a la vez en cierto modo olvido del proceso. El pastor hace uno de entidades que considera agrupadas a su vez en una misma entidad, sus ovejas, diríamos hoy: el "conjunto" de sus ovejas. Ha conseguido esta entidad de "mayor orden", más formal, gracias a evadirse de cada carácter particular de cada una de las ovejas y las piedras, gracias en cierto modo a nombrar el nombramiento y eliminar las relaciones entre los objetos: da igual la relación entre las ovejas o entre las piedras, sólo nos quedamos con que tienen el mismo nombre, caen bajo el mismo tipo de hacer-uno en cada caso. En cierto modo el haber inventado los números es cierto nombrar el acto de dar nombre, de dar, de asimilar, hacer corresponder. Nombramos una relación. Eliminamos las flechas entre las "categorías" de las ovejas y las piedras, y a su vez eliminamos las flechas-proceso de nuestro pre-conteo que ponía en relación "artificial" ovejas y piedras.
Conseguimos cierto formalismo en cuanto a esos actos a base de olvidarnos de un gesto que lo hizo posible: la identificación (representada con esas flechas "→" de arriba) de cada oveja con entidades "sin ser", las piedras, que despojaban a las ovejas, una a una, de todas sus pretensiones más allá de esa maravillosa y extraña condición de ser "un organismo", cada uno en cierto modo independiente de los de su especie pero por ello "de la misma especie". Ese despojamiento práctico hizo posible quizá que el pastor albergara en la cabeza la idea de querer nombrar ese acto en tanto puro acto.
Un "buen" día, por tanto, ha decidido dejar de usar las piedras y dejar de llamar a sus ovejas por su nombre o no nombrarlas, y pasar a sustituir por algo más cómodo aquel gesto de asimilar cada piedra a una de sus ovejas todas las noches, que ya tiene bastante trabajo (ha de recoger leña, ordeñar, ir al huerto, cazar, etc.).
Y lógicamente, a partir de ahora se da cuenta de que podrá usar las palabras mágicas 'un', 'dos', 'tres', etc. para hablar de otros "conjuntos" en tanto agrupaciones de cosas que interese agrupar olvidándose en cierto modo de sus características individuales. Intentará incluso "contar" las estrellas como pasatiempo aburrido, pues no tener que hacer ya nunca más aquella cansina correspondencia entre piedras y ovejas le ha dado ciertos momentos de "ocio" tonto al llegar de noche a casa. En cierto modo la trascendencia del nombrar el nombrar ya le ha "envenenado": se pone a hacer "cosas absurdas" (pero le dan que pensar pues entonces se pregunta a sí mismo: ¿por qué va a ser absurdo esto? ¿no lo es entonces también el vivir por vivir?).
Pero no nos engañemos, aquí es antes el huevo que la gallina, pues obviamente en cierto modo tenemos que decir que las flechas están antes, pues si no hubiera mundo físico donde el pastor tuviera sus ovejas y sus necesidades, no habría posibilidad de hacer corresponder entidades entre sí, no habría flechas que olvidar.
Más "modernamente", cuando contamos con las cosas (o incluso con los humanos), cuando las queremos introducir en nuestro mundo -a "hablar" o actuar en nuestro mundo- de humanos mediante típicos o no tan típicos experimentos, etc. se podría decir que estamos siempre usando ese "olvidar flechas", indispensable en algún momento, en cada situación, dependiendo de cada situación pero quizá siempre ese olvidar se presenta en ellas. También olvidamos que olvidamos flechas, y olvidamos que olvidamos que olvidamos flechas, etc. etc.
Entonces ¿quién tiene en cuenta cómo llevar a cabo esos diferentes olvidos dentro de las muchas maneras que puede haber en cada caso? ¿Puede salir bien sin plantearlo?
Nuestra cultura digamos que ha sido por una parte un inmenso "río", que va haciéndose al caer -erosionando en el terreno cuando cae- un caudal, un camino o varios, quizá con intersecciones, entremezclas, etc. (pero no infinitos) un camino-río de "olvidar flechas" y algunas veces, más en los últimos tiempos, volverlas a "recordar" o a desbrozar.
No podemos decir que nos guía la "utilidad", no necesariamente queríamos ser miles de millones de "humanos", no necesariamente tenemos que serlo; no teníamos tampoco por qué consumir todo el petróleo en el menor período de tiempo posible... etc. etc. Como véis hay muchos "no necesariamente", más desde que nuestro pastor se planteó aquello al mirar las estrellas: sí, esto que hago es inútil, pero ¿y la vida?
'Es antes la relación' (la organización) es una proposición que nos dará quizá mucho juego en lo tocante a esta web, pues en todas sus secciones se tratan asuntos que ahora se practican -y cuya práctica en esta forma contemporánea no es demasiado antigua- asuntos que hablan relaciones en cierto modo antes presupuestas, en la invisibilidad, no previstas, no vistas.
Las ciencias crecen deshaciendo el camino-gesto de olvidar flechas que nuestra fábula ejemplifica con eso que inventó hace tanto tiempo el pastor. Las ciencias en parte necesitan "categorificar", viven de "categorificar": procesos de hallar las "categorías" relacionales que hay detrás de una entidad pétrea tras la que no se ve nada. Volver a ver las relaciones donde no se veían quizá más que nombres que condensaban aspectos de "la realidad". Sin ir más lejos es esa la empresa de Einstein, por ejemplo, donde -sin por supuesto decir que "iba a categorificar"- él encuentra un "complejo relacional" donde antes había entidades completamente separadas: espacio y tiempo...
En el caso del pastor de nada sirve lo que ahora sabemos sobre las "categorías" relacionales por una parte de las ovejas en tanto entidades susceptibles de un estudio fisiológico, químico, etc... y por otra en las entidades "piedras", en tanto dotadas de por ejemplo las propiedades de los sólidos. Pero sí podemos investigar teniendo en cuenta lo que ya sabemos y podemos decir: una cosa muy simple pero muy profunda en matemáticas: que los conjuntos son una categoría (ente relacional). Sabemos que el pastor podría haber bifurcado su camino y haber pensado lo siguiente.
Dice el pastor: bien, tenemos los números, 1, 2, 3, 4... ¿qué son? Dos respuestas -de fábula- bifurcantes caben aquí, la primera la más conocida
1.- los números son entidades "operacionales": tengo 2 + 2 = 4 ovejas... luego ¡puedo usarlos para hacer más y más cosas!
Y la segunda algo más esotéricamente profunda:
2.- los números son en cierto modo isomorfismos, esto es, dan cuenta de aquellas flechas olvidadas en un principio pero que por esta vía el pastor va a recuperar; dan cuenta, los números, de lo que tienen en común en tanto agrupaciones, conjuntos, -algo que no dice aún el pastor- esas entidades de menor rango, individuales, al agruparlas, lo que tienen en común las agrupaciones de "elementos" en el universo. Y a partir de aquí el pastor-agricultor entonces va a tener cierta voluntad-intuición de "perseguir la flecha".
Siguiendo la opción 2.- en nuestra fábula, el pastor dice: bueno, sí, en vez de contar estrellas se me ha antojado no olvidarme de ninguna flecha: así que yo tenía en realidad varias formas de identificar mi conjunto de 3 piedras con el de 3 ovejas, pues todas las piedras y las ovejas en realidad eran diferentes en tanto individuos. Así que si quiero perseguir las flechas he de observar que en mi mundo relacional de conjuntos poblado de flechas hay unas cuantas formas de relacionar el 3 con el 3 de forma "isomorfa", manteniendo que a cada piedra le lleve una oveja, sólo una, hay "3 factorial": " 3! " = 6. Una de ellas es esta.
Los números son cierta "decategorificación" del concepto de isomorfismo.
Diferencias internas a los objetos en relación (como explicitamos en la anterior figura coloreando) crean un múltiple diferente "entre medias" que consta de más o menos flechas, de flechas con otras características, etc.
Ahora el pastor, en nuestra fábula, observa que lo que tiene entre manos es susceptible de mayor estudio, de nombres para entidades más complejas, se da cuenta que tiene una "categoría", -cosa que no vamos a hacer aquí pero es sencillo verlo-, esto es, que entre todas las entidades llamadas conjuntos y con todas las flechas, inclusive flechas para él inútiles como la relación entre dos conjuntos "tres" que expresa este dibujo:
tiene lo que llama -una entidad abstracta, más abstracta que la de "un conjunto de ovejas"- "categoría". Un mundo de relaciones con el casi único requisito de la composibilidad y la asociatividad que reresentamos por la flecha de abajo entre "objetos" de la respectiva categoría, objetos que como se ve "olvidan sus interiores".
Por ejemplo, si el objeto 1 y el objeto 2 en esta figura son el 3 y el 3, tenemos que una flecha como la pintada se compone de tres subflechitas como vimos arriba en varios ejemplos. Por otra parte hay 33 posibles flechas contando no sólo con las que son isomorfismos (como vimos arriba hay aplicaciones de un conjunto en otro que no son isomorfismos).
Si el pastor hubiera seguido por este inusitado y abstracto camino (el categorial) hubiera llegado a muy metafísicos resultados de nuestra moderna teoría de categorías. Hubiera visto que la "circularidad en los conceptos" es algo esencial, digamos: "flujo" . Se hubiera hecho, a la vez que platónico, heracliteano-lucreciano.
¿Por qué? Porque se daría cuenta de la especie de "dialéctica" intrínseca que existe en primer término y al menos en el mundo abstracto entre un "ser" algo por sí (interiormente, "con la lupa") y un "relacionarse", "aparecer", en el mundo; con lo que habría visto que los "elementos", partículas, y sus "relaciones" van parejos.
El mundo es un círculo problemático ensanchante-ensanchador, un reino de la circularidad
hacia lo organizado. Hubiera sido quizá evolucionista antes y quizás más inteligentemente aún -si cabe- que Darwin, etc. y se hubiera ahorrado muchísimos quebraderos de cabeza en cuanto a eso que ha dado tanto que hablar y ha dado tan penoso espectáculo: hablar de "las revoluciones científicas", esos espantajos... etc.
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A modo de "Bibliografía":
Ver o investigar acerca de:
Para "categorificación" ("categorification") : John C. Báez
Lawvere, etc.
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Últimos cambios diciembre 2005.
