matematerialismos y turbulencias

Comenzando: subgrupos normales y cómo afectan a los viajes de las flechas.

Vamos a empezar a esbozar rápidamente la forma de tratar el asunto.
En teoría de categorías es muy fácil decir lo que es un grupo G: una categoría G con un solo objeto y donde toda flecha tiene "inversa" (f → f^-1: f · f^-1 = f^-1 · f = 1_G) .

En la figura de la derecha representamos la identidad sobre G allá donde "debiera" estar el grupo, donde también hemos puesto la mera letra, la G de su nombre. Como en toda categoría y para todo objeto, G dede tener flecha identidad, y en este caso no hay más que un objeto. Las separaciones ficticias entre flechas que hemos hecho sólo son para poder observar que si elegimos una serie de ellas siempre podremos elegir otras (quizá ellas mismas) como inversas (esto es, que compuestas dan la identidad). Los grupos pueden observarse en ejemplos típicos: como los de los movimientos... las permutaciones... y los podemos "objetivar" con flechas de esta manera. En concreto nuestro grupo es finito y tiene 6 posibles movimientos más la identidad, con ello queremos decir que todo lo que podamos conseguir componiendo flechas es en realidad alguna de las que ya tenemos, así como cuando sumamos pongamos números enteros {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}... siempre hay resultado para la suma de dos o más: el 10000 + 23000 es el 33000.

En la figura de la derecha podemos observar un (sub)grupo de flechas -digámoslas: autosuficientes- que cuando sólo componemos entre ellas mismas obtenemos flechas de ese mismo grupo: un "subgrupo".

Algo que podemos hacer con estos subgrupos: crear relaciones de equivalencia, que son una forma de hablar del grupo teniendo en cuenta la posibilidad de clasificar sus flechas dependiendo de las de ese subgrupo dado.
Una relación de equivalencia típica es la de la nacionalidad, que idealmente clasifica a las personas en entidades más amplias, como "españoles", etc. y las clasifica totalmente (todos con nacionalidad y nadie con ambigüedades al respecto, sólo una). Aparte, luego, con estas entidades, estas agrupaciones de personas equivalentes según la relación de equivalencia llamada "nacionalidad", podemos construir otras cosas: ser europeo: "suma" de varias clases de equivalencia mediante la relación "nacionalidad".
Nuestra relación de equivalencia -que hay que demostrar que es tal cosa- hace que, si el subgrupo lo llamamos H = {h, h', h'', ...}, las clases por la derecha (por la izquierda) de un elemento x de G vienen dadas por las composiciones: xH, esto es: h → x -primero h y luego x- (o bien, "por la izquierda": Hx, esto es, x → h; x y después h). Eso, gráficamente, es simplemente que elegimos un x y metemos en su clase a todas las flechas de H que podamos componer o bien antecediendo a x de ellas o bien posponiendo x tras ellas, en plan "viaje" (visualizar los viajes).
En el caso de que el subgrupo tenga una propiedad particular (normalidad) ocurrirá que a su vez estas clases de equivalencia tengan una estructura, que no será otra que la de grupo. La normalidad es simplemente que en esa operación para definir las clases de equivalencia, la naturaleza del grupo H hace indiferente el que hablemos de los conjuntos xH o Hx, que son el mismo. No importa cómo superpongamos los movimientos a través de nuestra letra G, que el subgrupo H va a clasificar de forma "normal" a las flechas. He aquí la primera cuestión que nos surge: ¿cómo visualizar "con viajes" que esas posibles clases tienen estructura de grupo para un subgrupo dado que sea normal?
Podemos tantear el ejemplo de los viajes a ninguna parte. Expliquemos esto. Veamos las flechas como viajes virtuales que salen y entran al mismo sitio. Viajes que aportan sólo informaciones de cómo consigues realizar esos trayectos de ida y vuelta, si los mismos son equivalentes a la identidad o aportan algo. La inversa de cada flecha no aporta nada, hace equivaler la composición de ambas a la identidad.
Ahora deberíamos pensar la composición, con lo que no es H, de esos viajes, para ver cuál es la diferencia en cuanto a clasificación en clases de equivalencia si lo hacemos por un lado o por otro.