El pequeño estilo construye esmeradamente las matemáticas como un objeto para el escrutinio filosófico. Lo llamo "pequeño estilo" debido a que asigna a las matemáticas un rol secundario, como algo cuya única función aparentaría ser la de ayudar a perpetuar un área bien definida de especialización en filosofía. Este área de especialización está bajo el nombre de "filosofía de las matemáticas", donde el genitivo "de" es objetivo. La filosofía de las matemáticas puede inscribirse a su vez en el área de especialización que lleva el nombre de "epistemología e historia de la ciencia": un área que posee su propia burocracia especializada en aquellas comisiones y cuerpos académicos cuyo papel es el de administrar un personal compuesto de profesores e investigadores.
Pero en filosofía, la especialización da lugar invariablemente al pequeño estilo. En términos lacanianos, podríamos decir que colapsa el discurso del Amo -que radica en el significante-amo, el S1 que da lugar a la cadena significante- hacia el discurso de la Universidad, aquel comentario perpetuo que está bien representado por el momento segundo de todo discurso, el S2 que existe haciendo al Amo desaparecer a través de la usurpación del comentario.
El pequeño estilo, que es característico de la filosofía y la epistemología de las matemáticas, se esfuerza por disolver la soberanía ontológica de éstas, su aristocrática autosuficiencia, su dominio sin rival, confinando su dramática, casi desconcertante existencia a un rancio compartimento de la especialización académica.
La característica más palpable de este pequeño estilo es el modo en el que se emplea en su labor "clasificadora" con su objeto, mediante la historización y la clasificación. Podríamos caracterizar este objeto como el de unas matemáticas neutrales, objeto que es exclusivamente conservado por este pequeño estilo puesto que ha sido creado por él.
Cuando la meta es eliminar un apabullante significante-amo, la clasificación y la historización son las medios para el auténtico pequeño estilo.
Permíteme que directamente proponga un ejemplo digno y genuino de pequeño estilo; en otras palabras, un gran ejemplo de pequeño estilo. Me referiré a las "consideraciones filosóficas" que concluyen una obra verdaderamente notable titulada Fundamentos de Teoría de Conjuntos, cuya segunda edición, de la cual extraigo el párrafo, data de 1973. Lo he calificado de grande porque, entre otras cosas, fue escrito por tres lógicos y matemáticos: Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel and Azriel Levy. Este libro concluye el párrafo filosófico con este escueto aserto:
- Nuestro primer problema trataba sobre el estatus ontológico de los conjuntos -no de este o tal otro conjunto, sino de ellos en general. Ya que los conjuntos, ordinariamente entendidos, son lo que los filósofos llaman universales, el problema presente es parte de un problema bien conocido y ampliamente discutido, el del estatus ontológico de los universales.
Primeramente, lo que se plantea no es si las matemáticas pueden implicar algo importante para la filosofía, sino más bien la ontología específica de las matemáticas. En otras palabras, las matemáticas aquí representan simplemente un ejemplo particular de cuestión filosófica constituida, más que algo capaz de minar o plantear desafíos, y todavía menos algo capaz de proveer soluciones paradójicas o dramáticas para ello.
En segundo lugar, ¿qué es una cuestión filosófica constituida? Es actualmente una cuestión que concierne a la lógica, o a las capacidades del lenguaje. Brevemente, la cuestión de los universales. Sólo mediante una reducción preliminar de los problemas matemáticos a problemas lingüísticos o lógicos se puede ser capaz de calzar las matemáticas en el reino del cuestionamiento filosófico y transformarlas en una región objetiva y especializada, subsumida por la filosofía. Este movimiento particular es fundamental en el pequeño estilo.
En tercer lugar, el problema filosófico no está en ningún sentido provocado por uno matemático; tiene una historia independiente y, como los autores nos recuerdan, se ancla prominentemente en los "debates escolásticos de la edad media". Es un problema clásico, con respecto al cual las matemáticas dan la oportunidad de ponerse al día o de hacer ajustes regionales.
Esto se hace claro cuando consideramos el entusiasmo clasificatorio que exhiben los autores mientras plantean las posibles respuestas al problema:
- Las tres respuestas tradicionales del hombre al problema de los universales, radicadas en los discursos medievales, son conocidas como realismo, nominalismo y conceptualismo. No trataremos aquí con esas líneas de pensamiento en su versión tradicional sino sólo con sus contrapartes modernas conocidas como platonismo, neo-nominalismo, y neo-conceptualismo (aunque preferentemente omitiremos los prefijos ya que no tendremos oportunidad de tratar con las versiones antiguas). Además, trataremos con una cuarta actitud que ve todo el problema del estatus ontológico de los universales en general y de los conjuntos en particular como un seudo-problema metafísico.
Existe un viejo término técnico en filosofía para este tipo de enfoque neo-clásico: escolasticismo.
En lo que concierne a las matemáticas, el pequeño estilo semeja un escolasticismo provinciano.
Encontramos un ejemplo perfecto de este escolasticismo provinciano en una intervención de Pascal Engel, profesor de la Sorbona, en un libro llamado Objetividad matemática. En el desarrollo de un excurso gramatical sobre el estatus de las proposiciones, Engel usa no menos de 25 sintagmas clasificatorios. Son, por orden de aparición en esta pequeña joya de escolasticismo:
- platonismo
- realismo ontológico
- nominalismo
- fenomenalismo
- reduccionismo
- ficcionalismo,
- instrumentalismo
- antirrealismo ontológico
- realismo semántico
- antirrealismo semántico
- intuicionismo
- idealismo
- verificacionismo
- formalismo
- constructivismo
- agnosticismo
- reduccionismo ontológico
- inflacionismo ontológico
- atomismo semántico
- holismo
- logicismo
- neutralismo ontológico
- conceptualismo
- realismo empírico
- y platonismo conceptual
Con todo, es posible hacer un breve repaso del escolasticismo moderno en compañía de Fraenkel y demás. Primero, proponen definiciones para cada uno de los enfoques fundamentales. Entonces cautelosamente señalan que, como vimos con Engel, existe toda suerte de posiciones intermediarias. Finalmente, muestran los andamios-estandard más puros para cada una de las posiciones.
Veámoslo más de cerca.
Primero, las definiciones. En el siguiente pasaje, la palabra "conjunto" debe ser entendida como designando cualquier configuración matemática que pueda ser definida en lenguaje riguroso:
-
Un platónico está convencido de que correspondiendo a cada condición bien definida (monádica) debe haber, en general, un conjunto, o clase, que comprende todas y sólo todas las entidades que satisfacen esta condición, la cual es una entidad de propio derecho con un estatus ontológico similar al de sus elementos.
Un neo-nominalista se declara a sí mismo incapaz de entender lo que otra gente quiere significar cuando hablan de conjuntos a no ser que lo interprete como una "manera de hablar" [façon de parler]. El único lenguaje con el que él se apresta a entender es cierto cálculo de individuales, construido como una teoría de primer orden.
Existen autores que no se ven atraidos ni por la empalagosa flora selvática del platonismo ni por el desértico y ascético paisaje del neo-nominalismo. Prefieren vivir en los huertos perspicaces y bien diseñados del neo-conceptualismo. Quieren entender lo que son los conjuntos, pero la metáfora que prefieren es la de construir, o inventar más que la del aislar (o descubrir), tan querido para los platónicos... No están dispuestos a aceptar axiomas o teoremas que podrían forzarlos a admitir la existencia de conjuntos que no son constructivamente caracterizables.
Church o Gödel pueden ser invocados como platónicos no comprometidos; Hilbert o Brouwer como conceptualistas inequívocos; y Goodman como un furioso nominalista.
No hemos hecho aún mención del enfoque radicalmente agnóstico, el que venía en cuarto lugar. Siguiendo a la tesis 1 ("que los conjuntos tienen una existencia real como entidades independientes de la mente"), la tesis 2 ("los conjuntos sólo existen como entidades individuales que validan expresiones lingüísticas"), y la tesis 3 ("los conjuntos existen como construcciones mentales") viene la tesis 4, la tesis supernumeraria: "La cuestión sobre la vía en que los conjuntos existen no tiene sentido fuera de un contexto teórico dado":
-
Las opiniones prevalecientes [i.e. platonismo, nominalismo y conceptualismo] vienen motivadas por una fusión, o una confusión entre dos diferentes cuestiones: una consiste en si ciertas sentencias existenciales pueden ser demostradas, o refutadas, o mostradas como indecidibles en una teoría dada; la otra cuestión, sobre si esta teoría como un todo debería ser aceptada.
-
Posibilidad de ser consistente, facilidad de maniobra, efectividad en derivar análisis clásicos, enseñabilidad, posesión de modelos estandard, etc.
Es claro entonces, el pequeño estilo abarca todas esas cuatro opciones, y es indiferente a si uno adopta una posición realista, lingüística, construstivista o puramente relativista en la confrontación con la existencia de las entidades matemáticas.
Pero esto se debe a que ya se presupuso que la filosofía se relaciona con las matemáticas mediante un examen crítico de sus objetos, que es el modo de existencia de esos objetos lo que tiene que ser interrogado, y que hay en definitiva cuatro modos de concebir tal existencia: como intrínseca; como correlato de un nombre; como construcción mental; o como un correlato variable pragmático.
El gran estilo es por completo distinto. Estipula que las matemáticas proporcionan una iluminación directa de la filosofía, más que lo opuesto, y que esta iluminación se lleva a cabo mediante una intervención forzada e incluso violenta en el corazón de esas materias.
Ahora entonces atravesaremos cinco ejemplos majestuosos de gran estilo: Descartes, Spinoza, Kant, Hegel y Lautréamont.
El primer ejemplo: Descartes, Regulae ad directionem ingenii, "Reglas para la dirección de la mente", Regla II:
-
Esto nos da una explicación evidente de la gran superioridad en certidumbre de la Aritmética y la Geometría respecto a otras ciencias. [... sigue ...]
Segundo ejemplo: Spinoza, apéndice al Libro Uno de la Ética, un texto debido a Louis Althusser:
- [...texto aquí...]
Tercer ejemplo: Kant, Crítica de la Razón Pura, Prefacio a la segunda edición:
- [...texto aquí...]
Cuarto ejemplo: Hegel, Ciencia de la Lógica, la larga apostilla que sigue a la explicación sobre el infinito del cuanto:
- [...texto aquí...]
(SIGO OTRO MOMENTO)
[El último ejemplo de Badiou]. [... ] Lautréamont. Como Rimbaud y Nietzsche, Lautréamont, usando el nombre post-romántico de "Maldoror", quiere proporcionar una desnaturalización del hombre, una transmigración de su esencia, un positivo convertirse-en-monstruo. En otras palabras, quiere llevar a cabo una desregulación ontológica de todas las categorías del humanismo. Las matemáticas juegan un rol auxiliar crucial en esta tarea. He aquí un pasaje del Libro II de Maldoror:
- [...texto aquí...]
Ninguno de los partisanos del gran estilo creía que la visualización filosófica de las matemáticas tuviera que proceder mediante una reducción logicista o lingüista. [...]
Permítasenos ser descorteses y remarcar de paso, en lo tocante a esto, que Wittgenstein, a pesar de la astucia de su esterilizada locuacidad y a pesar de la innegable belleza formal de su Tractatus --sin duda alguna una de las piezas maestras de la antifilosofía-- debe ser contado entre los arquitectos del pequeño estilo, cuyos principios a asentado con su acostumbrada brutalidad. Así, en la proposición 6.21 del Tractatus, declara: "Una proposición de las matemáticas no expresa un pensamiento". O aún peor, en sus Notas sobre los Fundamentos de las Matemáticas, encontramos esta suerte de pragmatismo trivial, muy de moda ahora:
- Me gustaría preguntarme algo así: "¿Todo cálculo te ha llevado a algo útil? En ese caso, evitaste la contradicción. Y si no te lleva a nada útil ¿cuál es la importancia de llegar a una contradicción?
En todo caso nuestra máxima es: la filosofía debe entrar en la lógica vía las matemáticas, no en las matemáticas vía la lógica.
En mi obra esto se traduce así: las matemáticas son la ciencia del ser en tanto ser. La lógica pertenece a la coherencia del aparecer. Y si el estudio del aparecer también moviliza ciertas áreas de las matemáticas esto es debido simplemente a que, siguiendo una intuición formalizada por Hegel pero que finalmente se remonta a Platón, la esencia del ser es aparecer. Esto es lo que mantiene la forma de todo aparecer en un orden matematizable trascendental. Pero aquí, una vez de nuevo, la lógica trascendental, que es una parte de las matemáticas ligada a la teoría contemporánea de haces, se remonta dando de lado a la lógica lingüística o formal, que es finalmente no otra cosa que una traducción superficial de la anterior.
Reiterando el "nosotros" que usamos antes, diré: las matemáticas nos enseñan sobre lo que debe decirse concerniendo a lo que es, no sobre lo que está permitido decir concerniendo a lo que nosotros creemos que es.
* Traducido del libro de Badiou publicado en continuum en el 2004.
Nota1
Si leemos a Serres quizá no pensemos igual que Badiou. ¿?
