Principio de minimalidad de los ordinales, o ∈-minimalidad
Si existe un ordinal que posee una propiedad dada, existe un ordinal más pequeño que tiene dicha propiedad. Él la posee, pero no los ordinales más pequeños, los que le pertenecen.
Apéndice 1(de "el ser y el acontecimiento"). (Principio de minimalidad para los ordinales):
Se trata de establecer
que, si un ordinal α posee una propiedad, existe un ordinal β que es el más pequeño que la posee y, por consiguiente, que ningún ordinal más pequeño que β posee dicha propiedad.
Supongamos que un ordinal
α posee una propiedad Ψ. Si no es ∈-minimal para esa propiedad, es porque le pertenecen uno o varios elementos que también la poseen. Ahora bien, esos elementos son ellos mismos ordinales, ya que es una propiedad de los ordinales -emblema de la homogeneidad de la naturaleza- que todo elemento de un ordinal es un ordinal (esto se ha mostrado en la meditación 12). Separemos, entonces, en α, todos aquellos ordinales que suponemos que tienen la propiedad Ψ. Según el axioma de separación, ellos forman un conjunto. Lo anoto αΨ :
αΨ = {β / (β ∈ α) & Ψ(β)}
(Todos los que pertenecen a α y tienen la propiedad Ψ.)
Según el axioma de fundación, el conjunto αΨ contiene al menos un elemento, supongamos γ, tal que no tiene ningún elemento en común con αΨ. En efecto, el axioma de fundación plantea que en todo múltiple hay Otro, o sea, un múltiple presentado por él, que no presenta nada que haya sido ya presentado por el primer múltiple (un múltiple al borde del vacío).
Ese múltiple
γ es tal que:
- Pertenece a
αΨ. Por lo tanto pertenece α y tiene la propiedad Ψ (definición de αΨ).
- Ningún término δ que le pertenezca, pertenece a αΨ. Observemos que, sin embargo, δ también pertenece a α. En efecto, δ, que pertenece al ordinal γ, es un ordinal. Y la pertenencia es, entre ordinales, una relación de orden. Por lo tanto, (δ ∈ γ) y (γ ∈ α) implican δ ∈ α. La única razón posible para que δ, que pertenece a α, no pertenezca a αΨ es, en consecuencia, que δ no posea la propiedad Ψ.
De lo cual resulta que
γ es ∈-minimal para Ψ, puesto que ningún elemento de γ puede poseer dicha propiedad, que γ sí posee.
Esta demostración hace un uso esencial del axioma de fundación. Es técnicamente comprensible, ya que dicho axioma toca la noción de la ∈-minimalidad. En un múltiple dado, un múltiple fundador (o al borde del vacío) es ∈-minimal respecto de la pertenencia a ese múltiple: él le pertenece, pero lo que le pertenece, no pertenece más a ese múltiple.
Es conceptualmente necesaria, ya que el ordinal, esquema ontológico de la naturaleza, está ligado de un modo particular a la exclusión de un ser del acontecimiento. Si la naturaleza propone siempre un término último (o minimal) para una propiedad dada, es porque ella es por sí misma exclusiva del acontecimiento. La estabilidad natural se encarna en el punto de detención "atómico" que ella liga a toda caracterización explícita. Pero esta estabilidad cuyo núcleo es el equilibrio maximal entre pertenencia e inclusión, entre estructura y estado, sólo es accesible al precio de una revocación de la auto-pertenencia, de lo in-fundado, por consiguiente, del "hay" puro, del acontecimiento como exceso-de-uno. Si hay minimal en los múltiples naturales es porque no hay ningún corte ontológico desde donde se podría interpretar, indecidible en cuanto al múltiple, el ultra-uno como convocatoria del vacío.
