matematerialismos y turbulencias

Su libro comienza con una motivación del propio Badiou, la parte "0":

0: Debemos pensar el número.

0.1. Paradoja. Vivimos el tiempo del despotismo del número, el pensamiento plegado a la ley de las multiplicidades enumerables, y, sin embargo no disponemos de ninguna idea reciente, activa, de lo que es un número (a no ser que este defecto o incapacidad sea precisamente el oscuro reverso de una especie de sumisión sin concepto). Sobre este punto se ha realizado un esfuerzo inmenso -y por lo esencial ya acabado- a principios del siglo XX: el de Dedekind, Frege, Cantor y Peano. El impacto factual del número sirve de escolta a un silencio en el concepto. ¿Cómo entender hoy en día la pregunta de Dedekind, "Was sind und was sollen die Zahlen" (qué son y para qué sirven los números), publicada en 1888? Ya sabemos para qué sirven los números: sirven, en sentido estricto, para todo, norman el Todo. Pero sobre el qué son, eso lo ignoramos o bien repetimos lo que aquellos grandes pensadores de fines del siglo XIX --saliéndose de su jurisdicción-- dijeron que eran.

0.2. ¿Quién duda, hoy, el día en que el número reina, que el imperativo sea: ¡cuenta! ? Y no se trata del sentido de la máxima que Dedekind sabía que estaba escrita en griego y que calca la anterior: "aei o antropos aritmetichei" por el que se prescribe al pensamiento su singular condicionamiento por el matema. En el imperio actual del número no se trata del pensamiento sino de realidades.

0.3. El número rige de entrada nuestra concepción política bajo las especies consensuales del sufragio, del sondeo o de la mayoría. Toda convocación "política", sea general o local, aislante o asamblearia, municipal o internacional, se salda mediante una cuenta, y toda opinión se mide con la enumeración incesante de sus fieles (incluso si tal enumeración hace de todo fiel un infiel). Lo que cuenta, en el sentido de lo que vale, es lo que es contado. Recíprocamente, lo que hace número es lo que da valor. La "ciencia política" refina los números y obtiene por todas partes sub-números, cruza las series de números, su único objeto es el desplazamiento de los votos, aunque sean los cambios a menudo ínfimos en un poner en fila a los números.. El "pensamiento" político es una exégesis numérica.

0.4. El número reina en la casi totalidad de las "ciencias humanas" (estas coartadas cifradas apenas disimulan que en vez de "ciencia" lo que tenemos ahí es un dispositivo técnico donde la pragmática es la gubernamental), y el número nubla todo el dominio de esas ciencias mediante la estadística. La burocratización de los saberes es en primer lugar una excrecencia infinita de la mera numeración.
La sociología ha inaugurado a principios del siglo XX lo que había de presentable -e incluso de audaz- en la voluntad de plegar al número la figura de los lugares comunitarios. Ha querido extender en el cuerpo social y en las representaciones el proceso galileano de literalización y de matematización. Pero finalmente ha sucumbido a un desarrollo anárquico de este mismo ejercicio. Ahora está completamente llena de penosas numeraciones que no sirven sino para validar lo evidente o bien para asentar las oportunidades parlamentarias.
La historia ha importado masivamente la técnica estadística y, a menudo, devino sobre todo una sociología diacrónica -con la coartada del marxismo académico. Ha perdido aquello que únicamente la constituyó, tras los historiadores griegos y latinos, como disciplina de pensamiento: su subordinación consciente a lo real de la política. Y cuando atravesó las fases de reacción contra el número, el economicismo, el sociologismo... fue para caer en lo que era su simple reverso: la biografía, el psicologismo historizante.
La medicina incluso, aparte de su pura y simple reducción a su Otro científico (la biología molecular), es un enrevesado montón de hechos empíricos, una inmensa red de correlaciones numéricas testadas ciegamente.
Las "ciencias" del hombre pierden en los números aquello que bien podrían ser, hasta la saturación de todas las correspondencias posibles entre esos números y los otros números.

0.5. El número regla las representaciones culturales. Tenemos, obviamente, las televisiones, las tasas de audiencia, la publicidad... Pero esto no es lo más importante. Está en la esencia de lo cultural que éste esté tejido del número. Un "hecho cultural" es un hecho numérico. Recíprocamente, lo que hace número es asignable culturalmente, lo que no hace número no puede hacer más un nombre. El arte, que no revela otra cosa del número que el que haya pensamiento del número, es una palabra culturalmente impronunciable.

0.6. El número regla evidentemente la economía y sin duda es aquí donde se da lo que llamó Louis Althusser la "determinación en última instancia" de su supremacía. La ideología de las sociedades parlamentarias modernas, si hay alguna, no es el humanismo, el Derecho o el Sujeto. Es el número, lo contable, la contabilidad. Todo ciudadano es hoy en día convocado a conocer las cifras del comercio exterior, de la flexibilidad de las tasas de cambio, de la evolución de los cursos de Péchiney [n del T: ni idea qué es esto, ya buscaremos]. Estas cifras son presentadas como lo real tratado por las otras cifras, las gubernamentales de los votos y los sondeos. Eso que se dice "la situación" es el entrecruzamiento de la numericidad económica y la numericidad de la opinión. Francia (o cualquier otra nación) no es representable sino como el libro de cuentas de una empresa de exportación-importación. El país no se da otra imagen que no sea ese montón inextricable de números que, se dice, tienen su cierto poder, y que se espera que estén defendidos, sostenidos, por los que registran su estado de espíritu.

0.7. El número conforma nuestra alma. ¿Qué puede ser si no existir si no es hacer valer por sí mismo una cuenta favorable? En América uno se presenta, meritoriamente por su franqueza, diciendo lo que se gana. Nuestro viejo país es más retorcido, [Francia]. Pero ¡en fin! No hay que buscar mucho para encontrar las relaciones numéricas en las que cada uno es identificado. Nadie se puede presentar como individuo sin enunciar en lo que él cuenta, el por, el para lo que verdaderamente uno es contado. Nuestra alma tiene la fría transparencia de las cifras en las que se decide.

0.8. Marx: "las aguas heladas del cálculo egoísta". ¡Hasta qué punto! Hasta que el Ego del egoísmo no es sino una red numérica, aunque el "cálculo egoísta" es a su vez la cifra de una cifra.

0.9. Pero no sabemos lo que es un número, no sabemos lo que somos.

0.10. ¿Debemos tener en cuenta a Frege, Dedekind, Cantor o Peano? ¿No ha pasado nada en el pensamiento del número? ¿No tendremos en realidad otra cosa que la exorbitante extensión de su reino social y subjetivo? ¿Cuál es la culpabilidad inocente de sus pensadores? ¿En qué medida su idea de número es la prefiguración de este reino anárquico? ¿Han pensado el número o el advenimiento de la numericidad general? ¿No debemos hallar, para poder rechazar en el pensamiento el despotismo del número, otra idea de número para sustraer de ahí el Sujeto? ¿Y la matemática ha asistido silenciosa a la socialización integral del número de la cual ella tenía anteriormente el monopolio? Esto es lo que voy a examinar.
[Como véis, se pregunta lo que va a examinar a lo largo del libro. El cómo hasta qué punto "han de tener que ver" aquellos pensadores del número en lo que tenemos entre manos en nuestro mundo, etc, etc]

Parte I: genealogías, Frege, Dedekind, Peano, Cantor

Cap.1. Número griego y número moderno.

1.1. Los pensadores griegos del número lo han relacionado con el Uno, el cual, como puede verse en los Elementos de Euclides, no es considerado por ellos como un número. Lo que deriva del ser supranumérico del Uno es la unidad. Y un número es una colección de unidades, una adición. En esta concepción subyace una problemática que va desde los eleatas a los neoplatónicos, y que es la de la obtención del Múltiple a partir del Uno. El número es el esquema de esta procesión.

1.2. La ruina moderna del pensamiento griego del número procede de tres causas fundamentales.

La primera es la de la irrupción del problema del infinito, ineluctable desde que poseemos el cálculo diferencial, en donde en realidad se trata de sucesiones de números sin fin, a las que sólo podemos asignar un límite. ¿Cómo pensar como número el límite de tales sucesiones bajo el solo concepto de una colección de unidades? Una sucesión tiende a un límite, no efectúa la adición de sus términos, o de sus unidades. No se deja pensar como la procesión del Uno.

La segunda causa es que, si el edificio entero del número se ha de sostener con el ser de ese tal Uno, el cual a su vez está él mismo más allá del ser, es imposible introducir, sin subvertir radicalmente el terreno, un otro principio o punto de anclaje ontológico para el número: esto es, el cero o el vacío. Podría ser que, bien entedido --y la especulación neoplatónica trabaja en tal sentido-- el carácter inefable y architrascendente del uno se dejara marcar por el cero. Pero entonces, el problema es trasladado al uno numérico: ¿cómo numerar la unidad si el Uno del que se sustenta es vacío? Este problema es tan complejo que veremos que aún hoy es la llave para un pensamiento moderno del número.

La tercera razón, la más contemporánea, es la pura y simple dislocación de la idea de un ser del Uno. Estamos dentro de la jurisdicción de una época que nos obliga a sostener que el ser es esencialmente múltiple. El número, en consecuencia, no puede proceder de la suposición de un ser trascendente del Uno.

1.3.

Parte II: Conceptos: Multiplicidades naturales

Cap. 7. Multiplicidades transitivas.

págs. 81-87
- Acerca de la distinción entre pertenencia e inclusión. La imagen clásica tramposa.
- Multiplicidades transitivas: ejemplo D= (0, (0))
(El vacío '0' es parte de todo conjunto)
T es transitivo cuando para todo t que le pertenezca t está también contenido en T.

Cap. 8. Ordinales de Von Neumann.

8.2, Un conjunto es un ordinal si es como D, esto es, transitivo y todos sus elementos transitivos.
- Todo elemento de un ordinal es un ordinal.
Esta homogeneidad y estabilidad lleva a decir que los ordinales son los esquemas del múltiple natural, en contraposición a las multiplicidades históricas, inestables, heterogéneas, expuestas a la cesura acontecimiental.

8.7 El número procede de la Naturaleza, dentro, claro está, de la teoría de conjuntos (teoría del múltiple puro, ontología).
8.9 El vacío (es transitivo, recordar) es el punto de naturaleza donde se ancla el número.
8.10 Los ordinales de Von Neumann son:
- totalmente ordenados: para todo par W₁, W₂ o bien uno pertenece al otro o bien son iguales.
- Cumplen el principio de minimalidad: dada una propiedad P, que algún ordinal cumple, existe el ordinal más pequeño que también la cumple:
que P(W) sea verdad, implica que existe un W₁ tal que ningún ordinal perteneciente a dicho W₁ cumpla P.

8.10 Estas dos últimas propiedades se demuestran suponiendo el axioma de fundación.
8.12 Ejemplo de los gatos y...
8.13 El ((0)): (0) funda el anterior ordinal pues ningún elemento de (0) están en ((0))
8.14 Consecuencia del axioma de fundación: ningún conjunto puede ser elemento de si mismo.
8.15 Prueba el principio de minimalidad.

Cap. 9. Sucesión y límite. El infinito.
9.6 Sucesor de un ordinal W, S(W), el ordinal obtenido adjuntando W a los elementos de W, por ejemplo, si tenemos W = D = "2" = (0,(0)), entonces S(W) = (0, (0), D) = (0, (0), (0,(0)))
Hemos pasado del dos al tres, pero de una forma intrínseca, aclarar esto con las palabras de Badiou. Hay "figuras del ser múltiple", el dos D, y el tres T, y todo lo que definimos es una relación, que meramente nos facilita a nosotros un recorrido inteligible de tales existencias.
9.8
Como tenemos ya la idea de ordinal sucesor, concepto inmanente... ¿Existirán ordinales no sucesores?

9.9
El conjunto vacío, 0, es un ordinal que no es un sucesor, para poder serlo debería tener al menos un elemento, debería tener un elemento maximal.
9.12
¿Habrá otros ordinales distintos al 0 que no sean sucesores?
Convengamos en llamarles ordinales límite
9.14
Las consecuencias de que un ordinal límite no tenga elemento maximal son considerables.
Supón L que no lo tiene, y sea w₁ elemento de L. Como w₁ no es maximal, existirá un elemento w₂, de L, que es más grande que él: tenemos la cadena w₁, w₂, L, de menor a mayor según la relación de pertenencia. Pero a su vez w₂ tampoco puede ser maximal, luego existe un w₃ que podemos intercalar entre el w₂ y el L en la anterior cadena. Como vemos, esta "falta" de elemento maximal crea una "infinidad", en sentido intuitivo, de ordinales intermedios. Un ordinal límite está igualmente "lejos" de todos los ordinales que le pertenecen.
9.15 diseminación. Unión.

Cap. 10. La recurrencia o inducción.

Cap. 11. Los números enteros naturales.

Parte III: Ontología del número: definición, orden, cortadura, especies.

Cap. 12. El concepto de Número: una nominación acontecimiental.

[Tenemos que avisar que no será hasta el capítulo 16 cuando Badiou vea varios ejemplos clásicos de números con este concepto que puede parecernos, es posible, bastante "raro" si no lo conocéis]
12.1
12.2
Definición: Llamaremos Número a un dato compuesto: un ordinal y una parte de dicho ordinal.
Los denotaremos así: N, esto es, un N tendrá una materia M(N) y una forma F(N):
N= (M(N), F(N)).
Es claro que si hemos elegido para la forma una cierta parte del ordinal, tendremos algo que sobra, que no está en tal parte elegida, un resto, un desecho, lo denotaremos así: D(N)

12.3
1) Cuidado, lo anterior es "una definición pura".
Un ejemplo: cojamos por materia de nuestro Número el ordinal 1 (recordar: (0), el singletón del vacío), y por forma el ordinal 0, el vacío, que es también una parte de 1, como de cualquier otro conjunto. N es un número. N = (1, 0) (Donde insistamos en que 1 y 0 no se refieren a ningún "número".)
-notar que la forma, esa parte elegida, puede ser vacía, el ordinal entero, o bien puede ser inconexa, etc.

12.5
Elucidación filosófica de la anterior definición de Número.
Veamos por qué escribimos Número con mayúscula.
En los problemas de terminología nos encontramos con el peso del acontecimiento.
Por ejemplo, "números irracionales".
Es claro que dentro de la racionalidad matemática, tal designación es absurda. La doctrina de las cortaduras, debida a Dedekind, no es otra cosa que una determinación plenamente racional y demostrativa del concepto de número irracional. En estos textos matemáticos "irracional" no tiene ninguna significación.
Se diría precisamente que de lo que aquí se está haciendo "síntoma" es de la diferencia radical entre nominación y significación. Una significación siempre está distribuida por la lengua de la situación, la lengua de los saberes establecidos y transmitidos. Una nominación, en cambio, surge a falta de significación, para fijar un acontecimiento, decidiendo su advenimiento, en el momento en que este acontecimiento, que suplementa la situación por un azar incalculable, está al borde del desvanecimiento. Una nominación es una invención "poética", un significante de más...
Lo mismo nos pasa con la nominación "imaginarios" frente a los números reales.
Todo esto nos indica que el pensamiento del número es un auténtico sitio acontecimiental

12.6
La doctrina del Número que Badiou sostiene es la de los números surreales inventada por J. H. Conway en los años 70. No pretende Badiou producir nada nuevo en matemáticas, pero sí habla de por qué hay que cambiar el nombre "número surreal" por "Número", con mayúsculas.
Es en el fondo una controversia poética. La nominación que propone Conway le parece demasiado estrecha. Le parece que caracteriza la retención "reformista".

Cap. 13. Diferencia y orden en los Números

[Se define el discriminante y parece que demuestra cómo la relación menor es total e irreflexiva en el conjunto de los números. Recordar que tenemos materia, forma y desecho.]

13.1 [...] Se puede ver por tanto que podemos pensar la diferencia de dos Números mediante los ordinales. Si un ordinal está en la materia de uno y no en la del otro, o si está en la forma de uno y en el desecho del otro, él diferencia entre los dos Números.

13.2 Sean dos Números cualesquiera. Diremos que un ordinal w discrimina estos dos Números, ya sea si está en la materia de uno y no en la del otro, o sea que esté en la forma de uno y en el desecho del otro (lo que implica que está en la materia de los dos, ya que forma y desecho son las partes de la materia).

13.3 Ejemplifiquémoslo.

Sea el número (2, (0)), en el que la materia-ordinal es 2, y donde la forma es (0). Es un Número ya que 2 es un ordinal (es el ordinal finito del cual el ser es (0, (0)), ver 11.5), y ya que el singletón de 0, denotado (0), es una parte de 2. Este Número N₁ tiene por materia el ordinal 2 y por forma la parte (0).

Sea ahora N₂ el Número (omega, 2). Se trata también de un Número, ya que omega es un ordinal (el primer ordinal límite) y ya que el ordinal 2, que es un elemento de omega, es también una parte (transitividad de los ordinales). Este Número N₂ tiene por materia omega y por forma la parte (0,(0)) = 2.

El ordinal omega no discrimina los dos Números. En efecto, omega no está en la materia del primero (que es el 2, ordinal sucesor finito). pero tampoco está en la materia del segundo, ya que esta materia es omega y sabemos que ningún conjunto se pertenece a sí mismo.

El ordinal 0 tampoco discrimina los dos Números. En efecto, está en la forma de los dos. La forma del primero es el singletón (0), en el que el conjunto vacío 0 es el único elemento. Por tanto 0 pertenece a esta forma. Y por otra parte, 0 es un elemento del ordinal 2, que es la forma del segundo. Así que 0 también está en la forma de N2.

Pero el ordinal (0) (el número entero 1) discrimina los dos Números. En efecto, (0) es un elemento del ordinal 2, pertenece por tanto a la forma de N₂. Pero no puede pertenecer a la forma de N₁, que es (0), ya que es imposible la autopertenencia. Como (0) es elemento de la materia de N₁ (que es el ordinal 2), no estando en su forma estará en su desecho.

13.4 Dados dos Números y un ordinal cualquiera, se puede siempre saber si este ordinal discrimina o no los dos Números. Si N₁ y N₂ son dichos Números, la propiedad de discriminar dichos dos Números está bien definida.

Pero, si existe un ordinal que discrimina N₁ y N₂ (por tanto, si ambos son diferentes), en virtud del principio de minimalidad que utilizamos constantemente por ser una ley crucial de los múltiples naturales (cf. 8.10), existe un ordinal más pequeño que los discrimina. O, si se quiere, un ordinal mínimo para la propiedad "discriminar los Números N₁ y N₂".

13.5 Definición verdaderamente capital: Llamaremos discriminante de dos Números al ordinal más pequeño que los discrimine.

El interés de este concepto es el siguiente: traslada el pensamiento de la diferencia de dos Números al examen de un solo ordinal. Este "punto mínimo" de diferenciación autoriza un tratamiento local, y no global, de la comparación enter dos Números. La existencia del discriminante nos basta para concluir que los dos números son diferentes.

13.7 Demos a todo esto un forma un poco más estricta [es necesario para definir luego como lo hará la relación de orden entre los Números]

Se llama localización de un ordinal w respecto a un ordinal N, y se denota L(w,N), a la posición que ocupa respecto a las tres dimensiones del corte que efectúa el Número N: la materia, la forma, el desecho. Hay evidentemente tres casos posibles de localización:

• O bien el ordinal w no es elemento del ordinal W, que es la materia del Número N. Diremos en este caso que está localizado "fuera de la materia", y escribiremos L(w,N) = fM(N)
• O bien el ordinal w está en la materia W, y pertenece a la forma del Número. Se escribirá L(w,N) = F(N).
• O bien el ordinal w está en la materia W, pero pertenece al desecho del Número. Se escribirá L(w,N) = D(N).

Si no hay ambigüedad sobre el número N del cual hablamos podremos escribir cosas como L(w)=D, lo que significará que la localización de w (sobre-entendido el número del que hablamos) está en el desecho (de tal Número).

Habiendo dado un número N, todo ordinal está localizado mediante N, ya que hemos admitido la localización "fuera de materia".

Cuando un ordinal discrimina dos nombres N₁ y N₂ (cf. 13.2) será porque simplemente su localización, a la vista de los dos Números, no es la misma. La tabla de las localizaciones posibles para un ordinal w que discrimina los dos Números es la siguiente (denotamos fM, F y D las localizaciones [fuera de materia, forma y desecho]):

L(w, N1)	L(w, N2)
F F D D fM fM	D fM F fM F D

El discriminante de N₁ y N₂, siendo el ordinal más pequeño que los discrimina, ocupa forzosamente uno de los "pares" de localizaciones en la tabla. Si por ejemplo está en el desecho de N₁, deberá estar en la forma de N₂ o si no fuera de la materia M, de N₂.

13.8 Definición del orden en los Números.

Dados dos Números N₁ y N₂, y sea w su discriminante (releer si es necesario las partes 13.4, 13.5 y 13.6, ya que el concepto de discriminante es central).

Se dirá que N₁ es más pequeño que N₂, y denotaremos así N₁ m. N₂, si la localización del discriminante w para los dos Números está en uno de los tres siguientes casos:

• O bien L(w, N₁) = D(N₁) y L(w, N₂) = F(N₂): el discriminante está en el desecho de N₁ y en la forma de N₂.
• O L(w, N₁) = fM(N₁) y L(w, N₂) = F(N₂): el discriminante está fuera de la materia de N₁ y en la forma de N₂.
• O L(w, N₁) = D(N₁), y L(w, N₂) = fM(N₂): el discriminante está en el desecho de N₁ y fuera de la materia de N₂.

Compara con cuidado estos tres casos con lo que la tabla anterior indica en cuanto a las localizaciones posibles del discriminante de dos Números.

13.9
No es evidente que la relación N₁ m. N₂ sea una relación de orden. Pero, antes de probar este punto, podemos exponer para el pensamiento las características de esta relación.

El discriminante concentra en un punto (un ordinal) el concepto de diferencia de dos Números. El orden aquí introducido depende de la localización de este punto, por tanto de una suerte de topología de la diferencia. Ya que en este gesto --que es todo Número, de corte-- la numericidad "positiva" es la forma, lo que el gesto arranca a la materia, se considerará siempre que si el discriminante de dos Números está en la forma de uno este Número es "más grande" que el otro. En este otro el discriminante estará ya sea en el desecho o fuera de materia.

Inversamente, el desecho de un Número es el resultado puramente pasivo del corte de su forma, el resto inintencionado del gesto numérico. Es aquello que el número como acto deja de la materia. Si el discriminante de dos Números está en el desecho de uno, se considerará siempre que este Número es "más pequeño" que el otro. En este otro, el discriminante o bien está en la forma o bien fuera de la materia.

13.10
Una consecuencia aparentemente paradójica de esta concepción que determina todo el orden del punto de vista de la superioridad activa de la forma, pensada como la numericidad del Número, sobre el desecho, pensado como inverso pasivo, es que tendremos que N₁ será más pequeño que N₂ en el caso siguiente, en el de que su discriminante esté en el desecho de N₁ y fuera de la materia de N₂. La "paradoja" [...]

Cap. 14. El concepto de sub-Número.

14.4 El concepto de sub-Número.
La idea general de sub-Número es bien simple: obtendremos un sub-Número de un Número dado si "seccionamos", si extraemos de este Número en un punto de su materia, y si guardamos todo lo que había "antes" de esta operación. Como la materia de un Número es un ordinal, un "punto" de sección será un elemento de este ordinal, luego un ordinal más pequeño.

Cap. 15. Cortadura, el teorema fundamental.

15.4 [...] Invirtiendo el orden usual para el pensamiento, muestra [el concepto de cortadura, "coupure"] que cierto tipo de interrupción del continuo especifica una especie de lo discreto. En lugar de enunciar que el continuo está compuesto de puntos, determina los puntos en el continuo, e incluso define la puntualidad a partir de una cortadura en el continuo. El concepto de cortadura sustituye a una problemática de la composición por otra de la complección: un punto viene a "tapar" una confluencia, o una laguna imperceptible en un continuo dado previamente.

15. 5 El concepto de cortadura fue inventado por Dedekind para definir los números irracionales.

Dedekind partió de los números racionales. Se dice que un número racional positivo es de la forma p/q, siendo p y q números enteros naturales. Los números racionales nos proveen de una primera imagen de la continuidad dado que su orden es denso. Un orden denso es un orden tal que entre cualesquiera dos elementos ordenados se puede siempre intercalar un tercero y, por reiteración de tal propiedad, una infinidad de ellos. Si tomas el número racional 0 (que lo es puesto que pongamos que es la fracción p/0) y el número racional 1/2, se sabe que 0 m. 1/2 ["m." significa "menor que"]. Pero los números 1/3, 1/4, 1/5, etc, esto es, la infinidad de números de la forma 1/n, se intercalan entre 0 y 1/2.

La densidad no expresa directamente una propiedad cuantitativa: los números racionales tienen el tipo de infinidad de lo numerable, que no es superior a la de los números enteros naturales, aunque estos, no siendo otros que los ordinales finitos, no presentan un orden denso: enter n y n + 1, no existe ningún número entero natural. La densidad es una propiedad topológica del orden: excluye la idea simple del "término siguiente" bien determinado. Propone una suerte de coalescencia general, que hace que todo término "toque" a una infinidad de vecinos. La densidad de un orden es una propiedad topológica, mientras que la sucesión es algébrica [notemos que esto con teoría de categorías sería visto de otra manera, pues el "álgebra" de cierto modo se "generaliza" en categorías]. La densidad es "cuasi-continua". ya que uno puede aproximarse lo que quiera a un racional por medio de otros racionales. Se tiene la sensación de que entre dos números racionales, y más en general entre dos términos cualesquiera de un orden denso, no hay lugar para los números o los términos de otra especie, ya que todo intervalo, por pequeño que sea, está poblado de una infinidad de racionales, o de una infinidad de términos del orden denso.

Ahora bien, es justo en esta cuasicontinuidad de los racionales donde Dedekind va a definir por cortadura los "puntos" suplementarios que completarán la densidad aparentemente incompletable de los racionales, y sacará un "verdadero" continuo, mediante las interrupciones en la cuasicontinuidad.

Volveremos más en concreto sobre el procedimiento en el capítulo XVI. Esquemáticamente: Dedekind considera conjuntos disjuntos de racionales, R₁ y R₂, tales que todo elemento de R₁ es inferior a todo elemento de R₂, y tales que en R₁ no existe un máximo interno racional, y R₂ no tiene un mínimo interno racional: son dos conjuntos "abiertos", uno hacia arriba y otro hacia abajo. Dedekind identifica entonces un número real como ocupando el lugar de una cortadura entre R₁ y R₂. Este número real será el límite superior de R₁, y al mismo tiempo el límite inferior de R₂. En esta construcción, la densidad del orden de los racionales juega un papel esencial, lo cual nos enseña que la densidad y la cortadura, lejos de excluirse, se pertenecen en el pensamiento.

Se debe notar de todas maneras que este procedimiento pasa a definir los números reales suponiendo conocidos los racionales. La cortadura de Dedekind es plenamente una operación de complección: allí donde no había nada, ningún racional, adviende el nombre de alguna cosa que está "de más". El número real definido por la cortadura R₁/R₂ tapa aquello que, pensado desde los racionales solamente, es un vacío en la densidad, por tanto un vacío que no atestigua nada. Esto es por lo que la cortadura funda una nueva especie de números, que "completan" la densidad primera, e indican retroactivamente que esta densidad no era tan densa como para que ahí fuera imposible descubrir agujeros.


Cap. 16. El innombrable encanto del lugar del número

Parte IV: Las dimensiones operatorias.

Cap. 17. Interludio natural.

Cap. 18. Álgebra de los números.

Conclusión