turbulencias

Donde el lector aprenderá a dibujar categorías y empezar a pensar categorialmente.

La figura1, de la izquierda: hemos pintado los divisores de 36 con la relación: "36 es dividido por 12"... etc.
Podéis jugar con la figura: ¿cuántos caminos van del 36 al 1?
Primeramente jugando con el "grafo libre": por ejemplo uno de esos caminos es la flecha compuesta entre 36 y el 4 (no pintada en la figura) y luego la que va del 4 al 2 y luego la que va del 2 al 2 cuatro millones de veces (no pintada) y luego la que va desde el 2 al 1.
Podemos prescindir de esas repeticiones de la identidad (2 divide a 2 divide a 2 divide a 2.....) y jugar buscando otras cosas, definiendo más abajo la categoría de la que hablaremos.

(Como véis esta forma de mirar este grafo alberga también (en esas posibles infinitas repeticiones de flechas identidad) en cierto modo el siguiente común e indefinido "indeterminismo" asociado por ejemplo con el número 1, pues 1 es 1'000000000000000000000000000.... con infinitos decimales.)

Definamos pues la categoría P. Cuidado, que la categoría que hemos pintado es con las flechas al revés respecto a la que aquí describimos ahora [P^opuesta ≡ P^op].

Sus objetos [Ob(P)] son los números, los vértices del anterior grafo. Sus flechas son
P(x, y) donde x e y son los números (objetos); P(x, y), el conjunto de las flechas de la categoría, flechas entre x e y, y tiene elementos sólo si x ≤ y, y si además x divide a y. Por ejemplo P(2, 12) tiene un sólo elemento, pues en categorías cuando tenemos dos caminos que van entre dos objetos diferentes tenemos "lo mismo" (en este caso del 2 al 12 ; basta revertir las flechas de la figura que hemos pintado para ver gráficamente lo que estamos diciendo). P(2, 12) tiene un solo elemento porque "2 divide a 12", que es lo que nos interesa.
Por ejemplo P(12, 2) es el conjunto vacío (12 no divide a 2 pues ni siquiera es menor o igual que 2).

Hemos empezado quizá a liarlo tanto desde el principio porque "desgraciadamente" todo esto va a ser bastante más lioso.
Un interludio: siguiendo con el juego, fijarse ya en una cosa. Del objeto "36" parte una sola flecha hacia 1 pues "1 divide a 36", aunque veamos que hay varios caminos no están diciendo ninguna otra cosa. Pero de 36 parte siempre entonces una sola flecha hacia cualquier otro objeto: pues estamos hablando de los divisores de 36, 6 divide a 36, 2 divide a 36... 36 es unobjeto inicial en esta categoría "opuesta" de P que hemos dibujado arriba [P^op]. El 1 es terminal.

Ahora vamos a intentar tomar aire, o construir el colchón donde reposar en el siguiente paso hacia el "segundo nivel" de dificultad.
Vamos a someter todo lo que hemos dicho al gesto básico del "hacer uno" en conjuntos, los elementos, etc.
Hemos hablado en otro lado que los conjuntos son una categoría.
Arriba hemos construido dos categorías: P y su opuesta P^op. ¿Cuál será la clave para relacionar por un lado la categoría de conjuntos y por otro las que aquí hemos presentado?
Previamente podemos intuir que esta relación ya está subyaciendo a lo que hacemos, "la estamos llevando a cabo" por ejemplo en el momento en que hablamos de "una" flecha de la categoría P... Estamos todo el rato "haciendo conjuntos", gesticulando conjuntistamente para analizar algo en principio no conjuntista como es nuestra categoría de objetos y flechas que constituyen un orden parcial.

El primer paso más idóneo a dar quizá sea prolongar nuestra anterior observación así: tenemos conjuntos de flechas. Para cada objeto, por ejemplo el 12, tenemos los conjuntos P(x, 12) y P(12, x), donde x es una variable; esos conjuntos son conjuntos de flechas que llegan al 12 o que parten de él, respectivamente. Podemos analizar 12 categorialmente, contextualmente, mirando esas dos entidades conjuntistas. Vamos a ver que esas entidades son funtores.

Toma por tanto P(x, 12). Pero depende en qué categoría lo hagas, veamos en P a secas.
Vamos a intentar que lo veas como el acto de ponerte unas gafas, un paso en el camino hacia la profundización del concepto de "variable", aunque esas gafas no van en cierto modo a aumentar nada sino más bien a difuminar al 12, pues hablaremos del conjunto de llegadas, de flechas que llegan al 12.

En la figura2 lo hemos representado con flechas en rojo. Fijarse en que va a ser equívoco hacer la identificación directa entre el abstruso P(x., 12) y nuestro dibujo de flechas rojas. Hay que diferenciar bien las cosas.

Ejercítate en hacer estos "enrojecimientos" hacia un punto, visualmente, con otros ejemplos, como P(x, 18)...

Aún queda mucho para empezar a ver por qué hemos dibujado desde el principio aquella P^op.

Una cosa es hablar de esas flechas que llegan a 12, visto en la categoría P: P(x, 12) y otra del conjunto de los divisores de 12, vistos como vértices y además fuera del contexto categorial. O sea, vamos desde el análisis en entidades puntuales de todos los ingredientes por separado, hacia reconstituirlos o verlos conformando una relación entre categorías antes no discernidas, surgen tres entidades: dos categorías y una relación "funtorial" entre las mismas. Pero como dije antes, aún queda mucho para la presentación o "desentrañación" total, en este texto, de las relaciones funtoriales.

Vistos "como vértices", nuestros números {1, 2, 3, 4, 6, 12}, que son los divisores del 12, "son" el conjunto "6":

¿Y los divisores del 6?:
el conjunto "4"

Nuestra "categoría de conjuntos", que es un "mar de cosas" tal que así (figura5):

Lo que "visto categorialmente" es (por hacer una idea) así (figura6):

Recordar que por otro lado tenemos nuestra categoría de partida, por ejemplo P^op.
Esta categoría P^op en tanto categoría está relacionada con aquel mar de arriba, los conjuntos con bolitas. Pero... ¿cómo? (figura7)

Respiremos. Vayamos probando la comodidad de nuestro colchón, por ahora bastante incómodo quizás para quienes os encontréis con este texto.
¿Por qué tendrían que tener algo que ver dos categorías diferentes? Podríais decir: tan diferentes no son, que en todas hay números, entidades "discretas"; cierto.
Fijarse que en la categoría P^op estamos hablando de orden, tenemos objetos "sin interior", meros puntos, digamos. Primero hay que darse cuenta que esta categoría la hemos podido construir por las operaciones entre números: 12 · 3 = 36... etc. Operaciones que en realidad dependen de la "discretitud" de nuestros números.

En la categoría de conjuntos, existe un concepto categorial de producto, y se caracteriza por lo que se dicen "propiedades universales", tienen que ver con las propiedades categoriales (o sea, de los siguientes objetos y flechas con el resto de la categoría) de las proyecciones, por ejemplo desde el 6 hacia el 2 y hacia el 3 a la vez. Tiene que ver con este dibujo (figura8):

Así que no es tan raro que estén relacionadas. De hecho P^op está hecha de estas proyecciones.
La naturaleza especial de esos "objetos proyectados" + las proyecciones y los objetos a los cuales es proyectado, crea entidades categoriales de distinto orden que el de los conjuntos.
Podemos ver P^op también como con dos ramas de elecciones de objetos a los cuales se proyecta el objeto inicial 36. Son respectivamente los lados izquierdo o derecho de las siguientes factorizaciones 18 ·2, 9 · 4, 3 ·12, 6 · 6 (figura9).

Pero también podemos empezar ahora en el inicial, el 1, nuestro ente categorial es sintéticamente deducible mediante "sumas". Lo que nos dice un producto, como 3 · 12 es obviamente que 36 es posible conseguirlo mediante 3 bloques de 12 bolas o bien 12 bloques de 3 bolas. (figura10)

Así que por de pronto podemos decir una cosa. Fijaos en el dibujo de la "figura9", uno de los lados de las proyecciones, por ejemplo el número 3, nos dice que podemos coger 3 "flechas compuestas de subflechitas" que consigan insertar desde el 12 al 36 de forma inyectiva tres veces, esto es, inyectando/sumando 12 + 12 +12 = 36 (como en la figura anterior); y leyéndolo al revés nos dice que podemos insertar 12 "flechas compuestas" desde el 3 hasta el 36 que sean inyectivas, que inyecten los doce objetos sumándolos para sintetizar el 36: 3 + 3 +3 + 3 +3 + 3 +3 + 3 +3 + 3 +3 + 3 = 36..

Tenemos que el 36 y la propiedad universal del producto nos han traído una especie de "molécula" organizacional, esta categoría del orden parcial entre los divisores. El 36, como ya empezamos a decir antes, crea una especie de simetría así:

(figura11) "Simetría organizacional molecular". Una especie de molécula con simetría.
Como observadores podemos fijarnos en las composiciones, relaciones "todo/partes" que hay detrás de las posibles factorizaciones de 36. Como sugiere Rosen hay que distinguir entre analítico y sintético (algo que él demuestra ser muy importante en el cuanto a los modelos en ciencias), y en último término estas dos cosas tienen que ver con el comportamiento del producto frente al de la suma en categorías (cosas que en esta teoría son propiedades universales).

Una primera observación sobre "síntesis" podría venir de mirar la figura10 donde sintetizamos el 36 de dos maneras, sumando 12 tres veces o sumando 3 12 veces. Lo hemos representado con flechas. También podemos sintetizarlo mediante sumar 36 veces 1, o bien 36 = 2 + 3 + 7 + 8 + 6 + 10... y muchas otras maneras. Vemos la asimetría muy patente entre estas dos operaciones "categoriales": sintetizar/analizar.

Como hemos observado en las figuras de las proyecciones, el análisis suponía introducir quizás consideraciones "geométricas" que en el mundo de "meras bolitas" pueden parecer extrañas. En el mundo de las bolas dentro de los conjuntos no hay luz que haga proyectar el 36 en las diversas formas que tiene: con los pares siguientes
(6, 6), (36, 1), (4, 9), (12, 3), (18, 2).

Pero en realidad ya dijimos que el producto es hablar de cierta simetría para la suma. El producto nos habla de pares de números que se comportan simétricamente como bloques a añadir para conseguir (sintetizar) 36.

(P^op
mirar la figura de abajo:

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Últimos cambios diciembre 2005.