Situación quasi completa
Un conjunto es una situación quasi completa -lo indicamos S- si:
a. es infinito enumerable.
b. es transitivo.
c. los axiomas de las partes, de unión, del vacío, del infinito, de fundación y de elección, restringidos a ese conjunto, son verídicos en él (el ontólogo puede demostrar su validez en S y el habitante de S puede asumirlos sin contradicción, si no son contradictorios para el ontólogo);
d. todos los axiomas de separación (para fórmulas λ restringidas a S) o de reemplazo (para sustituciones restringidas a S) que han sido utilizados por los matemáticos hasta hoy -o lo serán, supongamos, en los próximos cien años (por lo tanto, un número finito de esos axiomas)- son verídicos en las mismas condiciones.
Dicho de otro modo, el habitante de S puede comprender y manejar todos los teoremas actuales -y futuros, ya que no habrá nunca una infinidad de ellos para ser demostrados efectivamente- de la teoría de conjuntos, en su versión restringida a S, esto es, en el interior de su universo restringido. O bien, S es un modelo enumerable y transitivo de la teoría de conjuntos, considerado como conjunto finito de enunciados.
La necesidad de atenerse a la matemática efectiva (histórica), es decir, a un conjunto finito de enunciados -lo que evidentemente no molesta a nadie.- resulta del hecho de que es imposible demostrar en la ontología la existencia de lo que sería una situación completa -es decir, un modelo de todos los teoremas posibles, por lo tanto, de todos los axiomas de separación y reemplazo- que corresponda a la serie (infinita) de las fórmulas separadoras o sustituyentes. De no ser así, habríamos podido demostrar, en la ontología, la coherencia de la propia ontología, algo que un famoso teorema lógico de Gödel demuestra que es imposible.
En contrapartida, podemos demostrar que existe una situación quasi completa.
a. es infinito enumerable.
b. es transitivo.
c. los axiomas de las partes, de unión, del vacío, del infinito, de fundación y de elección, restringidos a ese conjunto, son verídicos en él (el ontólogo puede demostrar su validez en S y el habitante de S puede asumirlos sin contradicción, si no son contradictorios para el ontólogo);
d. todos los axiomas de separación (para fórmulas λ restringidas a S) o de reemplazo (para sustituciones restringidas a S) que han sido utilizados por los matemáticos hasta hoy -o lo serán, supongamos, en los próximos cien años (por lo tanto, un número finito de esos axiomas)- son verídicos en las mismas condiciones.
Dicho de otro modo, el habitante de S puede comprender y manejar todos los teoremas actuales -y futuros, ya que no habrá nunca una infinidad de ellos para ser demostrados efectivamente- de la teoría de conjuntos, en su versión restringida a S, esto es, en el interior de su universo restringido. O bien, S es un modelo enumerable y transitivo de la teoría de conjuntos, considerado como conjunto finito de enunciados.
La necesidad de atenerse a la matemática efectiva (histórica), es decir, a un conjunto finito de enunciados -lo que evidentemente no molesta a nadie.- resulta del hecho de que es imposible demostrar en la ontología la existencia de lo que sería una situación completa -es decir, un modelo de todos los teoremas posibles, por lo tanto, de todos los axiomas de separación y reemplazo- que corresponda a la serie (infinita) de las fórmulas separadoras o sustituyentes. De no ser así, habríamos podido demostrar, en la ontología, la coherencia de la propia ontología, algo que un famoso teorema lógico de Gödel demuestra que es imposible.
En contrapartida, podemos demostrar que existe una situación quasi completa.
