Axioma 0, el único axioma existencial, el del vacío: Ø
El trayecto que llevará a dar cuerpo al concepto de parte genérica de una situación, la parte que controlará el algo enrevesado conjunto de las condiciones que darán lugar a forzamientos de indecidibles, es largo. Pero por barroco que sea todo él estará basado en cosas bastante sencillas, pues, para empezar, nada más sencillo que el vacío, Ø.
Banalizando las disquisiciones de Badiou, la operación del uno, en la situación ontológica (en cierto modo propuesta como "esqueleto" de lo demás) va a hacer uno de algo que en cierto modo comunica aquellos dos reinos, el de la inconsistencia y el de la consistencia. Ese algo es el Ø. El uno va a suponer simplemente hacer acto de presencia de la operación mediante la puesta en consistencia de nada más y nada menos que la nada, el vacío, por tanto, hacer esto: (Ø). El conjunto que no tiene más que al vacío. El 1.
Hemos dicho que la situación ontológica tiene que presentar la presentación, en tanto que ella dispone lo inconsistente. "El vacío es el nombre del ser -de la inconsistencia- según una situación, mientras que la presentación nos da acceso a un impresentable, esto es, el inacceso a este acceso, en el modo de lo que no es-uno, ni puede ser compuesto de unos, y, por consiguiente, no es cualificable en la situación más que como el errar [errrance] de la nada." "Es esencial retener que en una situación ningún término designa el vacío y que, en este sentido, Aristóteles aforma con razón en la Física, que el vacío no es -si se entiende por "ser" lo que es localizable en una situación, esto es, un término- lo que él llama una substancia. En el régimen normal de la presentación es verídico que del vacío, no uno e insubstancial, no se puede decir que es." [...] "La ontología comienza, de manera ineludible, una vez dispuestas las Ideas legisladoras de lo múltiple, a partir del puro proferimiento de lo arbitrario de un nombre propio. Ese nombre, ese signo, ajustado al vacío, es, en un sentido para siempre enigmático, el nombre propio del ser."
Axiomas no existenciales básicos en la situación ontológica
Recordemos, hemos de plantear todo axiomáticamente, reglas para manejarse, y sólo un axioma existencial, "existe el vacío".
Los múltiples sólo se caracterizarán porque presentan, por la operación, mediante aquella única operación de pertenencia ∈. Así tenemos:
1. Axioma de extensionalidad
Dos múltiples α, β, serán "el mismo" si los múltiples que entran en su composición múltiple son los mismos, si de todos los múltiples a, a', etc., que decimos que pertenecen a α, también podemos decir que pertenecen a β. Con ello, no afirmamos la existencia de algo, sino que "para todo múltiple existente, fijamos la regla canónica de su diferenciación".
2. Axiomas del estilo: dado un conjunto, construimos otro de tal o cual manera
2. a. axioma de los subconjuntos. Si un múltiple α es presentado, también se presenta el múltiple que se compone de todos sus subconjuntos {a, a', ...}, {b, a''', c, ...}, etc. Por tanto, contamos por uno el múltiple de todos los posibles reagrupamientos que podamos hacer con los múltiples que presenta α. Por ejemplo, si α es este conjunto (tener en cuenta que el vacío está siempre en todo múltiple): {Ø, a, b, c, } = α. Entonces el conjunto de las partes de α, denotado P(α), es este:
{Ø, a, b, c, {a, b}, {a, c} {b, c}, {a, b, c}}, que son todos los posibles reagrupamientos con elementos de α (no hemos pintado al vacío dentro de cada subconjunto).
2. b. axioma de unión. ¿Y las descomposiciones? Con el anterior axioma hemos contado por uno todas las posibles composiciones, pero ¿hay axioma de la diseminación? Sí. El conjunto unión será el conjunto de los elementos de los elementos del múltiple a diseminar, esto es, si tenemos el conjunto γ = {{a, b}, {a, c, d}} formado a su vez por dos conjuntos, el conjunto ∪γ es {a, b, c, d}, con elementos los elementos de los múltiples presentados por γ.
2. c. axioma de separación o de Zermelo. Es antes el ser que la lengua: si ya tenemos un múltiple, o sea, "para todo múltiple supuesto dado", podremos separar en él un submúltiple que cumpla cierta propiedad explicitable en una fórmula.
2. d. axiomas de reemplazo o sustitución. La consistencia de un múltiple no va a depender de los múltiples particulares que él presenta, pues éstos pueden ser sustituidos uno a uno por otros, debido a este axioma, y tendremos también un conjunto, un múltiple.
Nos quedan aún tres axiomas muy importantes, el de fundación (un múltiple va a estar fundado en el sentido en que los elementos de sus submúltiples no tienen por qué pertenecer al múltiple en cuestión; por ejemplo, como aparece en el libro-resumen de Hallward, los seres vivos están compuestos de más múltiples-vida, pero llega un punto donde esa característica, "vida", no puede predicarse de un rango de submúltiples, por ejemplo las moléculas, que por tanto quizá sean los que directamente fundan el múltiple que compone un ser vivo. La fundación está en el borde entre la consistencia y la inconsistencia de los múltiples de los que hablamos. En la situación ontológica el vacío es fundador), el axioma de elección y el axioma del infinito, que Badiou trata en meditaciones posteriores a la primera parte de su "el ser y el acontecimiento"..
