∈/⊂
En la anterior página, ya vimos un conjunto de partes de otro conjunto dado, α, y lo llamamos partes de α: P(α). Vimos que en el caso de que α era finito el conjunto de partes nos salía también finito, aunque más grande, y desde luego distinto. Aquel conjunto era {Ø, a, b, c, {a, b}, {a, c} {b, c}, {a, b, c}} y α era {Ø, a, b, c, }. ¿Qué relación tiene el conjunto de partes con el α primitivo? Que las partes están incluídas en α. Esto es, damos una nueva relación, la de inclusión ⊂, que sólo va a depender de la única que teníamos, la de pertenecia ∈. ¿De qué forma por ejemplo el múltiple {a, c}, contenido en el conjunto P(α) se dirá incluído en α? Pues porque todos sus elementos, a, y c, pertenecen a α. Pongamos que α sea ahora el conjunto N de los números naturales {0, 1, 2, 3, .....} (que es "infinito"). El conjunto de partes de N será a su vez un conjunto formado por subconjuntos de los naturales: { {0,1}, {1,3,18}, {2}, {4, 8, 12, 16, 20, ...}, {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, ....} } que también es imposible de representar al completo. Éste es un conjunto de partes puesto que los múltiples que componen los conjuntos de los que está formado están incluídos en el conjunto N de partida. Están incluídos porque todo elemento que pertenece a una parte de N pertenece a N.
Tenemos por tanto dos modos distintos de pensar lo múltiple, según la pertenencia y según la inclusión, que pese a depender de la pertenencia piensa el múltiple en tanto que está compuesto de partes.
Teorema del punto de exceso
