- O bien πn está en Dn+1 , la dominación de rango n + 1. Entonces afirmamos que πn+1 = πn
- O bien πn no está en Dn+1. Entonces, por la definición de dominación, existe πn+1 en Dn+1 que domina a πn. Tomemos este πn+1. Esta construcción nos da una serie de condiciones "encajadas": π0 →π1 →π2 →π3 →π4 →...
Y bien, definimos G como el conjunto de las condiciones dominadas por al menos un πn de esa serie, esto es: π ∈ G ⇔ [(∃ πn) tal que π → πn]
Un alto en el camino, arduo quizás para la mayoría de nosotros. π0 es una condición cualquiera. Recordar si hace falta qué es un conjunto de condiciones, qué son las condiciones. Elegimos una cualquiera π0. Hasta aquí nada, sólo que ya tenemos el primer término de una serie de condiciones que va a resultar que están encajadas. Las condiciones son múltiples, conjuntos, el operador inclusión es eso, la inclusión, o como dice Badiou, "algo parecido". Recordar también ¡que cualquier conjunto está incluido en sí mismo! Nos va a hacer falta.
¿Qué hay de π1? Vayamos a la segunda parte de la "construcción" en esa especie de bucle infinito:
π0 está definido, luego ocurre que o bien está en Dn+1 que en este caso es D1, o bien no lo está. Pongamos que lo esté, entonces, dice nuestra construcción que hacemos que π1 sea igual a π0. π1 está por tanto en D1.
Por un lado vamos a ir obteniendo la "cadena" D1, D2 ,... y por otro la de π0 ⊂ π1 ⊂ π2..., condiciones que vamos a ver que van a ir perteneciendo respectivamente a aquellas dos dominaciones, D1 y D2, ... respentando el orden (y como véis, los subíndices en los π's se refieren a la posición (el mismo múltiple con distinto nombre, cuidado).
Seguimos, vuelve a mirar el bucle, ahora debemos comprobar si π1 está en D2. Pongamos otra vez que lo está, entonces la construcción infinita nos dice que obligamos a π2 a ser π1, esto es, definimos π2 como π1. Seguimos. Vemos que "respetamos" esa ordenación respectiva de que hablamos antes.
Debemos ver si π2 está en D3. Ahora digamos que no. Entonces, por la definición de dominación, en D3 hay una condición, que nos obligamos a denotarla 'π3' y que domina a π2. Como ves, estamos respetando la ordenación y las pertenencias. Estamos viendo que cada πn está en Dn. ¿Qué puede pasar ahora, en este camino que vamos detallando, que fijamos de una vez por todas en la elección de esas condiciones encajadas? Pues de nuevo lo mismo, pon que π3 está en D4 entonces denotamos a π3 también como π4... Y así seguimos. En un momento dado volverá a ocurrir que tengamos que ir a la segunda condición, nos encontramos que πn no está en Dn+1. Por lo que seguimos como dice la segunda parte: "Entonces, por la definición de dominación, existe πn+1 en Dn+1 que domina a πn. Tomemos este πn+1...." Y "esta construcción nos da una serie de condiciones "encajadas": π0 →π1 →π2 →π3 →π4 →...
"
Ya tenéis más idea, si es que hizo falta que leyérais esto, de cómo es esta sucesión de condiciones.
Ahora es cuando se define la parte genérica G como todas aquellas condiciones que están dominadas por al menos un término de dicha serie de condiciones encajadas. Y este conjunto va a funcionar:
a. G es un conjunto correcto de condiciones.
Para que ocurriera esto veamos más atrás que dijimos que se tienen que cumplir dos reglas: que toda condición dominada por una condición de G pertenezca a G. Y esto ocurre porque si π1 está en G, hay un πn que domina a π1 (no confundir el que estemos usando los mismos nombres para miembros de G y para la serie de encajadas).
Pero entonces, para cualquier condición dominada por π1, pongamos π2, πn también domina a π2.
Y ahora la segunda regla, esto es, debe haber una dominante común para cualesquiera dos condiciones de G, que esté en G, y que será, como vamos a ver, la unión de ambas.
Si π1 y π2 son de G, tenemos que hay dos números n y n' (se lee 'ene y ene prima'), tales que π1 ⊂ πn y π2 ⊂ πn'. Supón que es n < n' (menor que n'). Por la construcción de la serie de arriba, tenemos obviamente que πn ⊂ πn' luego ( π1 ∪ π2 ) ⊂ πn' (acordarse: ¡pensarlo como conjuntos! ¡los dos están en πn' ! ) y, como esa unión ( π1 ∪ π2 ) está dominada por un término de la serie, dicha unión está por definición en G (que contiene a todas las condiciones dominadas por al menos un término de dicha serie). Luego observar que como tanto π1 como π2 están contenidas en la unión ( π1 ∪ π2 ) hay una dominante común a π1 y a π2 (lo que es la segunda regla de conjunto correcto, que hubiera en él dominante común para todas .
Y ahora ¡algo que podría parecer contradictorio y lo es! :
b. ¡G es genérico!
Para toda dominación Dn perteneciente a S existe, por construcción de la serie, un πn tal que está en Dn (πn ∈ Dn) y πn ∈ G. ¿Por qué πn está en el genérico G?
El genérico está compuesto de todas las condiciones dominadas por al menos una condición de la serie, pero πn está dominada por ella misma, recordar la inclusión, entonces está en G y como hemos numerado en esta situación enumerable todas las dominaciones en la serie de las Dn y además hemos construído esa serie de condiciones... tenemos que G es genérico porque se intersecta con toda dominación. Para todo Dn tenemos G ∩ Dn ≠ Ø.
¡Ya tenemos lo indiscernible, existe lo indiscernible!
Recordemos que nos dirigimos hacia definir una relación de forzamiento que use lo indiscernible (va a poder usarlo) para reconsiderar todos los nombres de la situación, para dar nuevos sentidos a todo.
Esa parte genérica G por fin construída no es interna a la situación. Debemos saber a qué situación pertenece G. Lo más sencillo es agregar G a S. Y la situación obtenida la llamamos S(G), extensión genérica de S.
La solución está en enriquecer no ya la situación S sino su lengua, "para que sea capaz de nombrar en S los elementos hipotéticos de su extensión mediante lo indiscernible y anticipar así -sin presuposición de existencia- las propiedades de la extensión." "En tal lengua, un habitante de S podrá decir: "si existe una extensión genérica, entonces tal nombre, que existe en S, designa allí tal cosa". Este enunciado hipotético no le planteará problemas, puesto que dispone del concepto (vacío para él) de genericidad. Desde afuera, el ontólogo realizará la hipótesis, puesto que sabe que un conjunto genérico existe. Para él, los referentes de los nombres -que para un habitante de S no son más que artículos de fe- serán términos reales. La lógica del desarrollo será la misma para el que habita S y para nosotros, pero el estatuto ontológico de esas inferencias será por completo diferente: en en la trascendencia para uno (puesto que G está "fuera del mundo"), posición de ser para el otro."
La nominación de lo indiscernible
"La sorprendente paradoja de nuestra empresa es que vamos a intentar nombrar aquello mismo que es imposible de discernir. Buscamos una lengua para lo innombrable. Ella deberá nombrarlo sin nombrarlo; enseñará su vaga existencia sin especificar en él lo que esto sea." "Los nombres deben poder designar hipotéticamente, sin más recursos que los de S, los elementos de S(G) (entendiéndose que S(G) existe sólo para el ontólogo exterior e inexiste para el habitante de S, en donde sólo es un objeto trascendente de la fe). La única cosa existente que toca a S(G) en S son las condiciones. Un nombre, entonces, va a combinar un múltiple de S con una condición. La idea más "ajustada" consiste en proceder de modo tal que un nombre esté compuesto de pares de otros nombres y condiciones." "La definición de un nombre de esas características será la siguiente: un nombre es un múltiple cuyos elementos son pares de nombres y condiciones. O sea, si μ1 es un nombre (α ∈ μ1) → (α = < μ2, π >), en donde μ2 es un nombre y π una condición."
La definición parece circular, definimos nombre suponiendo en la definición el nombre. Podremos deshacer la circularidad estratificando. Nos valeremos de los ordinales. "Comenzaremos por definir nombres de rango nominal 0. Estos nombres están compuestos exclusivamente por pares del tipo < Ø , π >, donde Ø es la condición minimal (hemos visto que es una condición: la que no condiciona nada) y π es una condición cualquiera. O sea, si μ es un nombre (simplificando): " μ es de rango nominal 0" si y sólo si [(γ ∈ μ) → γ = <Ø , π>]." "A continuación, suponemos que hemos logrado definir todos los nombres de rango nominal β, donde β es un ordinal más pequeño que un ordinal α (por lo tanto β ∈ α). Nuestro objetivo entonces es definir un nombre de rango nominal α. Plantearemos que un nombre de este tipo estará compuesto por pares del tipo < μ1, π>, donde μ1 es un nombre de rango nominal inferior a α y π es una condición. " "La definición deja así de ser circular, por la siguiente razón: un nombre está siempre ligado a un rango nominal nombrado por un ordinal, supongamos α. Se encuentra entonces compuesto de pares < μ, π>, pero en ellos μ es de un rango nominal inferior a α, por lo tanto, definido con anterioridad. Se "vuelve a descender" así hasta los nombres de rango nominal 0, que están explícitamente definidos (pares del tipo <Ø , π>). Los nombres se despliegan a partir del rango 0 por construcciones sucesivas que sólo comprometen materiales definidos en etapas precedentes. De este modo, un nombre de rango h estará compuesto por pares de nombres de rango 0 y de condiciones. Pero los pares de rango 0 están definidos. Por lo tanto, un elemento de un nombre de rango h está también definido; sólo contiene pares del tipo < <Ø , π1>, π2 >. Y así sucesivamente."
Se podría demostrar, ver, que el concepto de nombre es absoluto, pues depende de términos y operaciones, como los ordinales, los pares, conjuntos de pares, etc. que son absolutos para S. Con estos nombres vamos a construir "una situación S(G) a la que pertenece el indiscernible G. Es el caso en que, propiamente, el nombre crea la cosa."
