Hay un lema en teoría de categorías que de entrada es una herramienta técnica dentro de esa teoría pero que trasciende ese ámbito. Se llama 'lema de Yoneda', pese a que la contribución a dicho lema de Nobuo Yoneda no está clara.
Tal y como Alexander Grothendieck y su escuela en París desarrollaron la geometría algebraica, este lema sirvió como "background" para reconstruir un auténtico concepto de "punto" como estructura elemental de la geometría. Pero el impacto más profundo de este lema está en que proporciona una revisión general de la naturaleza de la conceptualización humana.
El drama que hay tras la revolución de Yoneda en las ciencias matemáticas es que propone una geometrización de los conceptos humanos sin final ni limitaciones. Y hace esto mediante un enfoque de descenso recursivo infinito: un punto es un punto de un punto... no hay un nivel inferior, y esto significa que no hay un nivel básico para los conceptos; por tanto, pensar en este estilo es una actividad "sin fronteras", y conforma existencias desde procesos de conceptualización mentales lógicamente consistentes.
Esto en cierto modo no es más que una forma contemporánea del principio de Paul Finsler:
Principio 4: la existencia matemática de un objeto significa que éste puede ser pensado de una forma lógicamente consistente.
Se parece también al "onceavo mandamiento" de Murray Gell-Mann, el cual dice que todo lo que no está prohibido es preceptivo, debe ocurrir en algún lugar y en algún tiempo. Para Finsler las matemáticas no son un mero juego formal con símbolos vacíos, sino que sus objetos existen como objetos físicos, aunque en cierto sentido en una realidad mental más "platónica". La existencia de tales objetos lógicos significa consistencia con la lógica absoluta, y esto no sólo dentro del marco usual conceptual: Finsler dio en su vida un papel importante a las definiciones circulares como ingrediente en la creación de objetos básicos de las matemáticas. Para él, la definición de un conjunto circular
M = {M}
se puede aceptar en tanto no cree inconsistencias lógicas.
Normalmente no somos conscientes de que la circularidad conceptual es inevitable. Por ejemplo el concepto de conjunto es circular: la teoría de conjuntos se define mediante un concepto fundamental ("conjunto") y una relación binaria elemental ∈ entre ejemplares del concepto de conjunto. Sin embargo, para exhibir la teoría de conjuntos necesitamos ejemplos de conjuntos generados por definiciones especiales o esquemas definicionales. Para hacer eso tenemos una bien conocida caracterización de un conjunto S: es una referencia a los elementos de S, i.e. aquellos conjuntos X tales que X ∈ S. Este es por tanto un concepto circular: preguntamos "¿qué es S?" Y contestamos: "es una colección de conjuntos X tales que son elementos de S." El conjunto S sólo se define mediante el apuntar a una colección bien definida de ejemplos del mismo concepto de conjunto. El único conjunto que tiene algún papel especial es el vacío Ø: se define por la sentencia "para todo conjunto X, X no pertenece a Ø", o más brevemente, Ø no se refiere a ningún elemento. El conjunto vacío es la pura reducción al concepto.
Para hacer todo esto evidente podemos recomenzar la teoría de conjuntos dando un nuevo nombre al concepto básico. Llamamos a los nuevos conjuntos "n-conjuntos", (n de 'nuevo'), y a la nueva teoría
n-teoría de conjuntos. Podemos entonces empezar desde este nuevo conjunto n-vacío Øn definido así: "para cada n-conjunto X, X no pertenece a Øn". Desde la perspectiva de la teoría matemática de modelos podemos decir que esta nueva teoría es sólo otro modelo de la teoría de conjuntos. Pero aquí no está la clave pues no se trata de que estemos tratando con lenguajes formales tales que sea posible transcribirlos (mapped) a ciertos modelos de una realidad física dada: la cuestión está en el concepto auténtico de la construcción: ¿qué pensamos cuando pensamos en los objetos mentales llamados 'conjuntos'? La clave está en que pensamos acerca de objetos auto-referenciales, circularmente definidos y que a partir de ellos hemos de ser capaces de investigar un universo de objetos que se construyen sin inconsistencia lógica. El conjunto Ø es uno de tales objetos para el tipo de concepto "conjunto" y el Øn es un tal objeto para el tipo de concepto "n-conjunto".
Esta es exactamente la situación de los denotadores [tema del cap. 6 de este texto] [...] [...] [...]
Esas reflexiones hacen claro que comprendemos que los conceptos son "apuntadores", i.e. referencias estructuradas recursivamente, con posible recurrencia circular. Hablando de forma radical, no hay nada tras los conceptos excepto los caminos y los modos de ramificación bajo los cuales subyacen los "conceptos coordenada" referenciados. Vemos entonces cómo todo esto es una cierta completa geometrización del concepto de estructura: los conceptos apuntan a apuntadores que apuntan...
Ahora bien, es esto precisamente lo que se aprende en la idea del lema de Yoneda: este lema dice a los matemáticos que todo lo que pueden aprender sobre los objetos matemáticos es la manera en que apuntan a otros objetos... y así en adelante. Por tanto, reemplazar un objeto matemático "real" X por su funtor @X significa olvidarnos de los "puntos en sí" y ocuparnos exclusivamente con su referencia a otros puntos. Desde luego que no es obvio que esta metodología proporcione todo lo necesario sobre un objeto, esto es, su clase de isomorfismos. Pero es este el golpe de Yoneda: es suficiente con conocer las "cadenas de apuntamientos". Lo que significa:
Tesis 1: los conceptos no son más que este apuntar recurrente. Su semántica no es más que esta completa ejemplarificación dada en las coordenadas de tus conceptos.
No debemos sin embargo entrar a una discusión más detallada sin presentar aquí el que la intuición epistemológica básica en este lema de Yoneda sea básicamente la misma que se puede reconocer en teoría general del arte o en la teoría de la representación [performance] musical.
9.1 Los morfismos son puntos
En el primer libro de los Elementos, Euclides define punto, línea y superficie. La definición 1 de Euclides es esta: "Un punto es aquello que no tiene partes".
La definición 3: "una línea es una longitud sin grosor, anchura". De este modo una línea tiene una parte: 'longitud', pero ninguna que podamos llamar 'anchura'. Y la definición 5 es: "una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura". En contraste con un punto, una línea tiene un atributo y la superficie dos. Esto no significa que un punto no sea nada ni que dos líneas sean iguales si sus longitudes son iguales. Los puntos las líneas y las superficies tienen una identidad, pero las líneas y superficies tienen especificaciones adicionales acerca de esa identidad.
La definición tres es: "una línea es longitud sin anchura". Esto es, una línea tiene una parte: longitud, pero ninguna parte llamada 'anchura'. Y la definición quinta reza así: "una superficie es aquello que tiene sólo longitud y anchura". En contraste con el punto, una línea tiene un atributo y la superficie dos. Esto no significa que un punto no sea nada, y que dos líneas sean iguales si lo son sus longitudes. Puntos, líneas y superficies tienen una identidad, pero los puntos no tienen especificaciones de su identidad más allá de la dada a través del no tener partes, un punto en cierto sentido se define negando algo más fundamental.
Nos encontramos ahora con el problema de caracterizar a los puntos. ¿Cuál puede ser el criterio de identificación si el objeto-punto no tiene parte o atributo que permita explicitar su identidad? En la geometría analítica, un punto podría tener sus coordenadas como partes, y ya, pero aquí, sin embargo, el concepto es irreducible. ¿Por qué podemos imaginar y es al menos intuitivamente aceptable que un punto-objeto pueda tener una sola "identificación"? Evidentemente, el acto de identificación parece un proceso seguro, no problemático. En la etimología de la palabra "punto" realmente encontramos un fuerte argumento para aceptar el citado mecanismo de identificación: "punto" deriva del latín "punctum", el participio pasado de "pungere", pinchar. Y esto se define mediante una imagen circular: "pinchar suavemente con un puntero agudo". El hecho importante es que un punto es el resultado de un movimiento realizado con algo del estilo de una flecha, un instrumento incisivo; su identificación se establece por la acción de apuntar -la expresión inglesa "apuntar hacia" es esencial: un punto es hacia lo que nosotros apuntamos. Es el resultado de un gesto de apuntamiento que en alemán se dice "zeigen", mostrar.
Tesis 2: Lo que identifica aquello que no tiene partes es ese gesto de apuntamiento.
En el enfoque identificatorio de Euclides quedan sin especificar dos particularidades: la materia del apuntar y la variedad de los tipos de identificación. Primero, "la materia del apuntar" se reduce a un gesto negativo: arrojar las flechas de identificación, la carcasa de las flechas que posee nuestro figurado arquero es casi arrojada a la basura y uno se queda con los puntos-blanco, con los blancos del apuntar, nada más. La segunda laguna depende obviamente de la primera: que esa variedad de flechas queda reducida a una. No se consideran otros blancos irreducibles.
El problema de las flechas identificatorias no fue reconocido durante mucho tiempo. Desde el punto de vista platónico ingenuo los objetos matemáticos fueron arrojados en algún lugar de un espacio platónico y sólo hay que reconocerlos para describir sus propiedades eternas. El punto desde el que viene el reconocimiento adecuado del problema que nos traemos entre manos tiene que ver con una revisión de la teoría de las ecuaciones polinómicas, que podemos decir finaliza hoy en día en la moderna geometría algebraica. Desde Descartes tenemos la caracterización de la geometría analítica: un punto p es un concepto compuesto, se identifica con sus coordenadas numéricas: p = (x, y, z). Y clásicamente las coordenadas son números "dados" y no hay nada que inventar al respecto: o tenemos las coordenadas o no las tenemos. Pero el enfoque algebraico sugiere una revisión radical de este asunto. El punto p puede verse como solución de tres ecuaciones polinomiales X - x = 0, Y - y = 0, Z - z = 0. Los tres polinomios X - x, Y - y, Z - z intervienen de la siguiente manera en este replanteamiento: buscamos el homomorfismo de anillos [los polinomios con coeficientes en R (y en general) son anillo, así como los reales "R" también son anillo, y "homomorfismo" significa una flecha que respete las estructuras de "anillo"; f es la notación tradicional para las "funciones"]:
evp : R[X, Y, Z] → R
f(X, Y, Z) → f(x, y, z)
sobre el anillo de los polinomios f(X, Y, Z) en las variables X, Y, Z con coeficientes reales. El punto p queda entonces asociado al núcleo (kernel; "Ker") de evp que es el ideal (maximal):
" (X - x, Y - y, Z - z) "
generado por los tres polinomios X - x, Y - y, Z - z. Así, las coordenadas de p son dadas por los generadores de Ker(evp).
Esto significa que podemos reformular un punto p mediante el morfismo evaluación evp. Esta formulación aparentemente compleja tiene grandes ventajas. Ahora podemos fijarnos en homomorfismos ev: R[X, Y, Z] → B cuyo codominio sea cualquier anillo conmutativo B e identificarlos con cierto tipo de "puntos generalizados". Un tal punto tiene coordenadas x = e(X), y =e(Y), z = e(Z) pero estos valores ya no son visualizables en el ingenuo contexto de las coordenadas reales. Permítenos presentar aquí lo completamente natural es todo esto de la siguiente manera. Sean los homomorfismos canónicos de factorización:
e :
R [X, Y, Z] → R [X, Y, Z] / (X, Y, Z2 + 1)
con x = X (mod X, Y, Z2 + 1), y = Y (mod X, Y, Z2 + 1), z = Z (mod X, Y, Z2 + 1). Así, tenemos x = y = 0 y z2 = -1. La tercera ecuación es claro que no podemos resolverla en R. En otras palabras, este "punto generalizado" e es algo auténticamente exótico. No hemos encontrado un trío de coordenadas clásicas sino que hemos creado una nueva sólo mediante el homomorfismo e. ¿Cuál es el argumento clave aquí? La introducción de "puntos" mediante homomorfismos permite solucionar ecuaciones que no eran resolubles en los contextos previos de coordenadas reales. Así, la creación de tales puntos generalizados se identifica con la construcción de soluciones de ecuaciones algebraicas.
Surge así finalmente en este sistema aquella materia del apuntar euclideano y la variedad de flechas, mediante ejemplos palpables. En geometría algebraica, un homomorfismo d : A → B de anillos también es visto como una flecha de dirección inversa entre unos objetos geométricos asociados a dichos anillos, los espectros de los anillos. Se representa así. Spec(d) : Spec(B) → Spec(A). Lo que nos concierne aquí es que la geometría algebraica ve a nuestro homomorfismo e como un morfismo
Spec(e) : Spec(B) → Spec(R [X, Y, Z]) lo cual está en el espíritu de nuestra terminología general de los denotadores [ cap. 6 ] comenzando en la "dirección" [address] B en vez de los usuales números reales 'R' de las coordenadas reales. Así, la materia euclídea es ejemplarizada mediante esta selección de direcciones mientras que la 'variedad de flechas' euclídea es el conjunto de las flechas desde Spec(B) a Spec(R [X, Y, Z]). En geometría algebraica, esas flechas se llaman "puntos B-valuados de R [X, Y, Z].
En el caso de arriba, el anillo cociente B = R [X, Y, Z] / (X, Y, Z2 + 1) es isomorfo al cuerpo de los números complejos C mediante la identidad sobre los reales y
z → i = (-1)-1/2
Y esta es una situación crucial en el desarrollo de las matemáticas modernas: construcción de espacios de solución para ecuaciones algebraicas. Los números complejos son el espacio de solución cuyos puntos son construidos con ayuda de "el punto que es la raíz de -1". En otras palabras, la relativización del dominio de la materia de los puntos añade nuevos puntos a los usuales de la geometría real ingenua. En este punto también se hace evidente que la visión de las direcciones [addresses] como parámetros ontológicos tal como hemos descrito en el principio 3 es completamente canónica en la ontología matemática: nuevos númetros proporcionan nuevas ontologías para los objetos matemáticos. La realidad de los números reales es sólo una dentro de un inmenso universo de direcciones ontológicas. En teoría electromagnética e ingeniería esto es estándard: cosas como las corrientes imaginarias...
No es este el lugar para llevar a cabo una completa extracción de las consecuencias de este cambio de paradigma en matemáticas que Grothendieck introduce alrededor de 1963, pero debemos notar que el concepto de espacio es relativizado de acuerdo a estas direcciones variables. De hecho, una topología de Grothendieck sobre una categoría es una colección de conjuntos de puntos donde puntos significa flechas sobre todas las posibles "direcciones" en C con propiedades especiales. De forma distinta a la topología clásica, el concepto de Grothendieck trabaja sobre el concepto de punto arriba introducido: los puntos son flechas en categorías.
Esto queda completado en el enfoque de 1963 de William Lawvere junto con la obra de Myles Tierney: comenzó un exitoso programa de fundamentación de las matemáticas basándose en la teoría de categorías en vez de la de conjuntos. Desde ahora, los objetos elementales ya no son conjuntos dados por sus puntos elementales sino flechas que reemplazan los viejos puntos y son ahora parametrizadas por sus "direcciones de dominio".
9.2 El lema de Yoneda
[Vamos a necesitar mucha notación. Las definiciones de la teoría de categorías son "muy difíciles" pero por ser excesivamente sencillas (muy sencillas) y compactas. Visitar internet si hace falta alguna información pero quizá poco a poco intentaremos ser autocontenidos. Mazzola y sus colaboradores usan en su libro este símbolo C@ para referirse a la categoría de funtores Func(Cop, Sets) de funtores entre la "opuesta" de la categoría C y la categoría de conjuntos. Ahora se verá por qué esta categoría es importante. En el lema de Yoneda presentado en la página 181 dirán que F es miembro de esta categoría (un funtor contravariante set-valuado). Hay un funtor de Yoneda llamado "@" donde @ : C → C@ : X → @X y que como se ve relaciona ("funtorialmente") la categoría C con la categoría de funtores Func(Cop, Sets). Al objeto X le da un funtor llamado '@X' donde el símbolo @X sirve para denotar el siguiente conjunto/funtor: HomC ( · , X) (pensar gráficamente en todas las flechas que llegan a X en la categoría C, independientemente del objeto de partida (de ahí el punto '·' en el primer espacio del conjunto "Hom"), y ese conjunto/funtor, donde 'HomC' significa morfismos en C, como hemos dicho es sencillo: es el conjunto de flechas que llegan a X en la categoría C. Por ello ponemos la arroba delante de X, porque son las que llegan, no las que salen de X (para lo cual está reservado el símbolo 'X@' ). Pensar en todas esas flechas que llegan, las diversas "perspectivas" en el mundo categorial en cuestión, es saberlo todo sobre el objeto. Digamos que el aparecer es anterior o co-presente con el ser, co-fabrica el ser. ] [...] [...]
[...]
[...]
9.3 La filosofía Yoneda
Del isomorfismo de Yoneda (9.4) sabemos que clasificar objetos es equivalente a clasificar sus funtores, i.e. podemos descubrir todo sobre un objeto a través de los puntos-espacios sobre direcciones-dominio variables. Se reconoce al objeto a través de la variación de las perspectivas. El conocimiento es el resultado de una red de perspectivas (ontológicas). Por tanto, todo lo que sabemos de un objeto es determinado a través de su comportamieno (su sistema punto-funtorial). Para cualquier "ontología real" de un objeto, podemos tratarla completamente en el nivel comportamiental.
En particular, un objeto puede definirse también mediante su comportamiento. En términos matemáticos, un objeto puede primero definirse por sus propiedades funtoriales, y entonces, si se requiere, recobrar su aspecto de objeto "real". Pero incluso si una definición funtorial fracasa en hacer corresponder algo a un objeto real, i.e. si el funtor F ∈ C@ no es representable (ver apéndice G.2), puede demostrarse (apéndice G.1. , proposición 97) que es el colímite de un diagrama de funtores representables Fi = @Xi. en otras palabras: en el co-límite, todas las definiciones acerca del comportamiento son alcanzables mediante definiciones "objetivas", i.e. funtores representables.
